학교수학의 교육적 기초(하)(양장본 Hardcover)

학교수학의 교육적 기초를 깊이 있게 이해하기 위한 전면적 개정판



'기초 수학에 대한 깊은 이해'가 수학교육의 질을 좌우한다.

G. Polya가 걱정한 바와 같이 수학은 교육과정 가운데 가장 인기가 없는 의아스러운 명예를 안고 있으며, 미래의 수학교사들은 대학을 졸업하고 학교로 되돌아와 새로운 세대에게 다시 수학을 혐오하도록 가르치게 되는 악순환이 반복되고 있다. 일찍이 F. Klein이 제기한 '이중단절'의 문제는 이러한 수학교육의 근본 문제를 야기하는 주요한 이유라고 생각된다. 수학교사가 대학에서 배운 현대수학과 학교수학이 단절되어 학교수학의 본질을 보다 '높은 관점에서' 보지 못하기 때문에 그의 교육에 하등의 영향도 미치지 못하고 전통적인 지도방식으로 회귀할 수밖에 없다는 것이 Klein의 통찰이다.

저자는 수학교육에서 Klein이 제기한 문제의 핵심에 공감하면서, Liping Ma가 주장하는 '기초 수학에 대한 깊은 이해'가 수학교육의 질을 좌우한다고 믿는다.

이 책은 이를 위해 절실히 요구되는 학교수학의 바탕을 분석하여 보여 주고자 한 많은 수학교육학자와 명철한 학생들의 통찰과 반성, 그리고 그에 대한 종합과 재구성을 위해 노력한 저자의 작은 결실이다. 독자들이 이 책을 통해 학교수학에 대해서 무지를 자각한 저자와 같은 놀라운 경험을 하고 학교수학의 본질에 접하는 기회를 얻음으로써 수학교육의 바른길을 찾아가는 출발점이 될 수 있기를 기대한다.

(개정판 머리말에서)



[책속으로 추가]

특히 20세기 초 수학교육 근대화 운동과 현대수학의 학교수학화를 지향한 1960년대 '새 수학' 운동에서의 Euclid기하 교육에 대한 거센 도전에도 불구하고, 논증기하는 중등학교 수학에서 의연히 그 위치를 유지해 왔다. 더욱이 그동안 중등학교 수학에 도입된 여러 가지 내용에 그 자리를 양보하다가 급기야 중학교 수학의 중심이 된 내용이 되기에 이르렀다. 현행 수학 교육과정에서는 중학교 2, 3학년에서 평면 논증기하를 다루고 있으나 그 학습?지도상의 어려움이 거듭 제기되고 있다. 중학교의 논증기하는 2000년 전에 성인 수학자를 위해 쓴 Euclid원론의 내용을 중학교 학생 수준에 맞추어 초등화한 것이며, 공리계까지 지도하지는 않지만, 도형의 몇 가지 기본적인 성질을 받아들이고 삼각형의 합동조건과 닮음조건 및 보조선 방법을 이용하여 연역적으로 추론하도록 하는 Euclid기하의 틀을 그대로 갖고 있다. (중권 345쪽)



또는 에서 는 실무한인 극한이다. 그러나 학생들은 극한에 대해 그에 한없이 접근하지만 도달할 수는 없다든가, 그에 거의 도달할 때까지 접근한다든가 하는 자생적인 직관적 관념이 있다. 이는 극한의 실재성을 받아들이지 않고 잠재적으로만 존재한다고 보는 것, 궁극적으로 실현될 수 있는 잠재성만을 받아들이는 입장이다. Tall(1991)은 는 극한을 향하는 과정을 나타내는 동시에 극한값을 나타내는, 말하자면 쌍대적인 특성을 갖는 기호인데, 과정에만 집착하고 실무한으로서의 극한을 대상화하지 못한 상황에서 강요된 기호로 사용하는 교육적 문제점을 지적하고 있다. 학생들은 이러한 상황에서 '극한의 대수' 법칙을 이용하여 여러 가지 함수의 극한값을 기계적으로 계산하는 방법에 주의를 집중하게 되는 것이 보통이다. (하권 47쪽)



교사가 수학학습에 적합하다고 생각하는 교수활동은 교사가 가지고 있는 수학적 지식에 대한 인식론적 관념과 밀접하게 관련되는 듯하다. 학교수학을 위계적으로 구조화된 기성의 이론으로 생각하는 교사는 학습-지도 활동을 수학적 지식의 구조에 따라서 조직한다. 여기서 두 가지 교수 전략이 구사된다. 하나는 초등학교와 중학교 초에 주로 사용하는 방법으로 직관을 중시하고 내용을 구체화하여 제시하고 보기를 사용하여 예시하는 방법이고, 다른 하나는 중학교 이후에 두드러진 방법으로 일관된 수학적 관계를 강조하고 수학의 내적인 논리적 구조에 초점을 맞추어 학습-지도 방법을 조직한다. 이러한 방법에서는 수학적 지식은 선형적으로 곧바로 획득된다는 가정 아래 먼저 기본 개념을 정의하여 명확한 개념적 기초 위에 점차 수학적 지식이 학습되기를 기대한다. 여기서 공리적 구조는 적어도 원칙적으로는 모든 지식을 포함한다는 것을 기본적으로 가정하고 있다. 이러한 구조적 접근에서는 개념을 명확히 하려는 시도가 엄밀성에 사로잡혀 하찮은 많은 용어를 정의하여 혼동의 늪에 빠질 위험성이 있다. (하권 226쪽)



통계에서 다루고 있는 것은 기본적으로 어떤 것인가? 통계조사에서든 비교실험에서든 그 핵심은 비용과 시간을 절감하면서 연구 대상을 잘 대표할 수 있는 일부분의 자료, 즉 적절한 표본(sample)을 추출하는 일이다. 그다음으로 해야 하는 일이 적절한 해석 방법을 자료에 적용하는 일이다. 통계자료의 해석 방법은 크게 기술과 추측으로 구분될 수 있다. 기술통계에서는 어떻게 자료를 잘 요약하고 기술할 수 있는가에 주안점을 두고, 자료에 함축된 정보를 간단한 통계량으로 요약하여 제시하거나 도표나 그래프와 같은 일목요연한 시각적 표현수법을 사용한다. 그리고 추측통계에서는 확률분포 이론을 바탕으로 수집된 자료를 기초로 하여 모집단(population)에 대해 통계적 추측을 한다. 여기서 통계적 가설을 설정하고 그 유의성을 검증하는 '확증적 자료분석(CDA, Confirmatory Data Analysis)' 방법이 구사된다. (하권 251쪽)

머리말

개정판 머리말



제7장 미적분 지도

1. 미적분 학습-지도의 목적

2. 함수의 미분가능성과 적분가능성

1) 함수의 미분가능성

2) 함수의 적분가능성

3. 미적분 지도방법

1) 무한소 방법

2) 극한방법

4. 현행 교육과정에서의 미적분

1) 수열과 함수의 수렴 및 극한

2) 미분법 지도

3) 적분법 지도

5. 수학교사를 위한 미적분법 교재의 역사-발생적 전개

1) 미적분법의 기본정리와 그 역사-발생적 분석

2) 평균값 정리와 그 역사적 발생

3) Lakatos의 발견적 접근법

6. 미적분법 대 이산수학

7. 미적분 지도의 방향



참고문헌



제8장 확률 지도

1. 확률개념의 복합성

1) 수학적 확률

2) 경험적 확률

3) 주관적 확률

4) 공리적 정의

2. 확률 교재의 개념적 기초

1) 표본공간

2) 확률론의 공리

3) 독립성

4) Bernoulli의 큰 수의 법칙

5) Laplace의 중심극한정리

6) 확률 문제에서 야기되는 패러독스

7) 조건부확률

3. 확률개념의 이해

1) 우연과 무작위성

2) 확률개념의 다면적 특성

3) 확률적 사고와 확률 직관

4) 확률적 사고의 발달

4. 확률 교육과정

1) 현행 확률 교육과정

2) 확률 교육과정의 문제점과 개선 방향

5. 확률 학습-지도에서의 컴퓨터 활용



참고문헌



제9장 통계교육의 문제

1. 통계학과 통계교육

2. 통계적 사고의 특성

1) 탐색적 자료분석

2) 통계적 추론

3. 통계교육의 문제점

4. 통계 교육과정과 지도 관점의 변화

1) 통계 교육과정

2) 통계 지도 관점의 변화

5. 통계적 사고 능력의 개발

1) 자료분석의 지도

2) 통계적 추론의 지도

6. 통계교육의 개선 방향

7. 기본적인 통계적 개념의 교수학적 분석

1) 분포

2) 대푯값

3) 통계그래프

4) 산포도

5) 상관관계와 산점도



참고문헌



제10장 수학교육의 주요 문제

1. 수학교육의 주요 문제

2. 수학적 사고 능력의 개발

1) 수학적 사고 능력

2) 수학적 사고의 도야



참고문헌



찾아보기

우정호 저자 우정호는 서울대학교 사범대학 수학교육과를 졸업하고, 일본 히로시마대학 대학원(수학교육학 전공)에서 교육학 박사학위를 받았다. 현재 서울대학교 명예교수이다.

저서로『수학교육학 개론』(공저),『수학 학습-지도 원리와 방법』,『중학교 수학 1, 2, 3』(공저),『고등학교 공통수학』,『수학 I, II』, 역서로『어떻게 문제를 풀 것인가』,『수학적 발견의 논리』 등이 있다.