지수 로그 벡터(Newton Highlight 93)

실제 사례를 바탕으로 배우는 지수, 로그, 벡터



전자계산기가 없던 시대에 2의 29제곱 같은 계산을 하는 것은 보통 일이 아니었다. 그러나 지수와 로그(log)를 사용하면 간단히 계산할 수 있다. 이러한 계산 방법은 어떻게 세상에 알려졌을까?

16세기는 서양에서 과학 기술이 새로운 발전의 전기를 맞이한 때였다. 이 시기에는 천문학 등의 여러 분야에서 거대한 숫자를 복잡하게 계산하는 작업이 필요했다. 이러한 상황에서 '복잡하고 어려운 계산을 조금이라도 쉽고 편하게 하고 싶다.'는 것은 모든 학자들의 절실한 소망이었다. 이러한 시대적인 요청에 부응해 로그라는 새로운 계산법을 고안한 사람이 있었으니 바로 영국의 수학자 존 네이피어(1550~1617)였다.

로그란 무엇인가? 예컨대 2의 3제곱 = 8을 생각해 보자. 여기서 2=3@8이라고 쓸 수 있다. 그러면 3은 어떻게 나타낼 수 있을까? 여기서 로그의 개념이 나온다. 즉 '2를 몇 제곱하면 8이 되는가'라는 것이 로그의 의미이다. 이 내용을 log2@8이라고 쓰며, 이 로그의 값은 3이다(log2@8=3). 로그는 어떤 경우에 사용될까? 위에서 말한 2의 29제곱을 일반적인 곱셈으로 하려면 엄청난 양의 계산을 해야 한다. 그러나 로그(표)를 이용하면, 아주 간단하게 답(근삿값)을 구할 수 있다. 우주에서의 거리 계산, 파리의 에펠탑과 같은 거대 구조물의 건설 등, 다양한 방면에서 로그는 그 위력을 유감없이 발휘했다.

이 책 《지수·로그·벡터》의 Part 1에서는 먼저 지수와 로그의 원리와 그 응용을 설명한다. 로그란 무엇이며, 지수와 로그의 기본 법칙은 무엇인지를 알아보고, 복잡한 계산의 바탕이 되는 상용로그표의 계산 원리와 과정을 정리한다. 또 지수 함수, 로그 눈금과 로그 그래프, 네이피어 수, 오일러의 공식 등 로그와 관련된 다양한 학습 자료를 제공해서 로그의 기본과 응용을 확실히 이해하도록 구성했다.

한편 수학이나 물리학에서는 벡터라는 말을 '크기와 방향을 가진 양'으로 사용한다. 예컨대 바람은 '초속 5m'라는 크기와 '동쪽 방향'이라는 방향을 가지므로 벡터로 나타낼 수 있다. 자연계에는 그 밖에도 벡터의 예가 많이 있다. 물체의 운동 속도, 중력(만유인력) 등의 힘, 전류 등이 벡터의 예이다. 우리 주변에 언제나 존재하는 빛의 정체도 벡터와 밀접한 관계가 있다.

벡터는 자연계의 메커니즘을 이해하는 데 큰 도움이 되며, 벡터의 개념을 이해하면 일상의 풍경도 아주 다르게 보일 것이다. Part 2에서는 벡터의 덧셈과 뺄셈, 벡터의 성분 표시, 벡터장과 스칼라장, 전기장과 자기장과 빛, 내적과 외적, 삼각 함수와 에너지 보존의 법칙 등, 벡터의 기본과 다양한 응용 사례를 통해 '벡터'가 무엇인지, 그리고 어떻게 과학에 도움이 되는지를 살펴본다.



특장



● 지수, 로그의 기본 원리와 계산 법칙을 그림으로 이해

지수와 로그는 '종이의 앞뒤'의 관계에 있다고도 할 수 있다. 지수와 로그 둘 다 '곱셈의 반복 횟수'를 말한다는 점에서는 같지만, 보는 관점은 서로 다르다. 이러한 지수와 로그의 개념과 특성을 우리 실생활에서 흔히 볼 수 있는 사례를 통해서 그림으로 알기 쉽게 설명해 준다. 아울러 지수와 로그의 가장 기본적인 계산 법칙의 원리를 완전히 이해시켜 줌으로써 다양한 응용에도 대처할 수 있도록 구성했다.



● 상용로그의 원리와 응용, 지수 함수와 오일러의 공식까지

로그의 가장 큰 장점은 막대한 크기의 복잡한 계산을 단순하게 바꾸어 준다는 데 있다. 그것의 중심에 상용로그가 있다. 앞서 말한 2의 29제곱 같은 번거로운 계산도, 상용로그를 사용하면 실제로 '계산'하는 일은 29×0.3010 정도로 끝난다. 나머지는 이미 완성되어 있는 상용로그표를 찾는 일뿐이다.

한편 지수 함수는 삼각 함수와도 밀접한 관계를 가지고 있다. 지수 함수와 삼각 함수를 연결하면 역시 복소수의 복잡한 계산도 간단히 할 수 있다. 물리학은 물론 우리의 일상생활과도 깊숙이 연결된 빛과 음파, 전기, 소립자 등 자연계를 지배하는 파동과 진동의 연구에서도 지수 함수와 삼각 함수는 큰 위력을 발휘한다.



● 벡터의 덧셈과 뺄셈. 벡터와 스칼라장, 전기장, 자기장, 빛

예컨대 바람처럼 '크기와 방향을 가진 양'을 벡터라고 하는데, 우리 주위에는 물체의 속도, 중력이나 마찰력, 던져진 공의 운동 등 벡터로 표현되는 양이 대단히 많다. 또 모터의 구조 등 전기와 자기를 이해하는 데도 벡터는 반드시 필요하다. 이러한 벡터의 기본인 덧셈과 뺄셈, 성분 표시의 개념과 함께, 전기장과 자기장, 그리고 전자기 유도, 전자기파의 발생 등의 응용 개념을 정확한 그림을 통해 알기 쉽게 설명해 준다.



● 벡터의 내적과 외적. 벡터와 삼각 함수, 에너지 보존의 법칙

벡터는 삼각 함수 및 일, 에너지 보존의 법칙과도 밀접한 관계를 가지고 있다. 한편 벡터는 모터의 회전 운동 등을 설명하는 데도 아주 유용하게 쓰인다. 여기에 관계된 벡터의 내적과 외적의 의미는 무엇인지, 일과 에너지 보존의 법칙, 모터의 회전 운동 등의 원리를 어떻게 벡터로 설명할 수 있는지를 일목요연하게 정리한다. 벡터를 비롯한 수학은 자연계의 메커니즘을 이해하고 과학 기술을 생각하는 데 빼놓을 수 없는 중요한 도구이다.



● 최고 품질의 과학 단행본, '뉴턴 하이라이트 시리즈'

'뉴턴 하이라이트 시리즈'는 과학 잡지 Newton에 게재되었던 기사를 특정 주제별로 재구성하고, 내용을 더욱 확대하여 구성한 과학 단행본 시리즈이다. NASA 등 세계적인 과학 기관에서 제공하는 최신 사진 자료와 과학의 핵심 원리를 한눈에 보여 주는 세련된 일러스트레이션은 이 시리즈의 큰 자랑이다. 물리학ㆍ화학ㆍ생명과학ㆍ지구과학ㆍ천문학ㆍ수학ㆍ과학기술 등의 다양한 내용으로 구성된 90여 권의 자매편들이 절찬리에 판매되고 있다.

Part 1 지수와 로그



* 로그에 대한 준비 운동

먼저 지수부터 ①~② / 반복 곱셈 ①~②



* '마법의 도구' 로그

편리한 계산기 '계산자' ①~② / 로그란 무엇인가? ①~② / 우리 주변의 로그 ①~② / 지수 법칙 / 로그 법칙 ①~③ / 계산자의 '비밀'을 밝힌다 ①~② / 상용로그표를 이용한 계산 / 상용로그표 / 로그표를 완성하기까지 / 브리그스의 계산 / 계산의 도구를 넘어선 존재 ①~②



* 더 알고 싶다! 칼럼

지수 함수란? / 지수는 꼭 자연수여야 하는가? / 편리한 로그 눈금과 로그 그래프 / 아지마 나오노부가 만든 로그표 / 네이피어수 e는 어떤 수인가? / 오일러의 공식은 왜 중요한 가?





Part 2 벡터



* 벡터의 기초

벡터란? ①~② / 벡터의 덧셈 ①~⑥ / 벡터의 뺄셈 ①~② / 벡터의 성분 표시 ①~②



* 벡터와 '장(場)'

벡터장과 스칼라장의 예 / 전기장과 자기장 / 전기장과 자기장과 빛 ①~⑤



* 벡터의 내적

내적과 일 / 삼각 함수란? / 내적의 의미 ①~② / 에너지 보존의 법칙 ①~②



* 벡터의 외적

모터의 메커니즘 ①~② / 외적의 의미 ①~②



* 발전편

벡터와 행렬 / 역학과 벡터

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