미르카, 수학에 빠지다 3: 망설임과 괴델의 불완전성 정리

'나는 거짓말쟁이다'는 참인가, 거짓인가?
세상의 역설에서 수학의 진리를 발견하다!

『미르카, 수학에 빠지다』(전 6권)는 일본 웹사이트에 연재되자마자 폭발적인 조회수를 기록한 수학 소설로, 20년이 지난 지금까지 청소년 수학 분야에서 장기 베스트셀러를 지키고 있다. 영어판 제목은 『Math Girls』이다.
수학을 통해 꿈을 이루어 가는 '나', 수식의 원리를 꿰뚫어보는 수학 천재 미르카, 수포자가 될 뻔한 명랑 소녀 테트라. 세 고등학생은 괴짜 수학 선생님이 내 주는 수학 문제를 풀기 위해 방과 후 도서실이나 카페에 모여 머리를 맞대고 토론하며 수식을 풀어 나간다. 이들은 수학이라는 공통 관심사를 통해 실력을 쌓으며 점차 성장해 간다.
『미르카, 수학에 빠지다』3권에서는 네 명의 소년 소녀가 수리논리학의 기본 정리이자 수학사에서 가장 위대한 발견으로 꼽히는 '괴델의 불완전성 정리'에 도전한다. 불완전성의 정리는 모순이 없는 수학 체계는 증명할 수 없는 공리를 가지고 있기에 완전할 수 없다는 것을 증명한다. 즉 어떠한 수학 체계도 절대적인 진리가 될 수 없음을 말한다. 0과 1이라는 기호로 연산하는 컴퓨터처럼 괴델은 단어, 문자, 문장을 자연수로 대응하는 괴델수를 창조해 불완전성의 정리를 완성했다. 예를 들면, '나는 거짓말쟁이다'라는 말이 참이면, 이 말을 한 내가 거짓말쟁이기 때문에 '나는 거짓말쟁이다'는 참이 아니다. 또 '나는 거짓말쟁이다'라는 말이 거짓이라면, 나는 거짓말쟁이가 아니기 때문에 '나는 거짓말쟁이다'라는 나의 말은 참이 된다. 괴델은 역설적 문장을 괴델수로 대응해 불완전성의 정리를 완성했다. 괴델에 의하면 우리가 당연하게 생각하는 '1+1=2'도 수학 공리계 안에서 증명할 수 없다. 반드시 '2=1+1'이 아니기 때문이다.
스스로를 불안해하는 '나'에게 미르카는 불완전성의 정리가 말하는 교훈을 전해 준다. 3차원 공간에서 보면 나선 계단이 제대로 보이지만 2차원 공간에서 보면 그것은 단지 점이나 선으로 보일 뿐, 세상을 한 차원 넓게 보아야 진리에 도달할 수 있다는 이야기다. 이 책을 통해 독자들은 가장 난해하다고 알려진 괴델의 불완전성의 정리를 폭넓게 이해하며, 나와 세상을 바라보는 관점을 더 넓힐 수 있을 것이다.

프롤로그 수학이라는 언어가 이어 준 청춘의 시간
1. 거울의 독백
1. 정직한 사람은 누구?
거울아, 거울아
정직한 사람은 누구?
똑같은 답
침묵이라는 대답
2. 논리 퀴즈
앨리스와 폴리스와 크리스
표로 생각하기
출제자의 의도
3. 모자는 무슨 색인가?
모르겠어요
출제자의 확인
거울의 독백
2. 페아노 산술
1. 테트라
페아노의 공리
무한 반복하는 소원
페아노의 공리 PA1
페아노의 공리 PA2
크게 늘어나다
페아노의 공리 PA3
작다고?
페아노의 공리 PA4
2. 미르카
페아노의 공리 PA5
수학적 귀납법
3. 무수한 걸음 중에
유한인가, 무한인가?
동적인가, 정적인가?
4. 유리
가산이란?
공리란?

3. 갈릴레오의 망설임
1. 집합
미인의 집합
외연적 정의
식탁
공집합
집합 속의 집합
공통부분
합집합
포함 관계
집합이 중요한 이유
2. 논리
내포적 정의
러셀의 패러독스
집합 연산과 논리 연산
3. 무한
전단사의 새장
갈릴레오의 망설임
4. 표현
귀갓길
서점
5. 침묵
미인의 집합

4. 한없이 가까워지는 목표 지점
1. 집
유리
남자애의 증명
유리의 증명
유리의 의혹
나의 설명
2. 슈퍼마켓
목표 지점
3. 음악실
문자로 나타내기
극한
음악은 음(音)으로 결정된다
극한의 계산
4. 귀갓길
진로

5. 라이프니츠의 꿈
1. 유리는 테트라가 아니다
'이라면'의 의미
라이프니츠의 꿈
이성의 한계?
2. 테트라가 유리는 아니다
입시 공부
수업
3. 미르카라면 미르카다
교실
형식적 체계
논리식
'이라면'의 형태
공리
증명
추론 규칙
증명과 정리
4. 내가 아니다, 혹은 나다
집
형태의 형태
의미의 의미
'이라면'이라면?
권유

6. 입실론-델타
1. 수열의 극한
도서실에서
계단 교실
복잡한 식을 이해하는 방법
절댓값을 이해하다
'이라면'을 이해하다
'모든'과 '어떤'을 이해하다
2. 함수의 극한
ε-δ
ε-δ의 의미
3. 실력 테스트
랭크 인
정숙의 소리, 침묵의 소리
4. 연속의 정의
도서실
모든 점에서의 불연속
한 점에서 연속인 함수?
무한의 미궁에서 탈출하다
한 점에서 연속인 함수!
해야 할 말

7. 대각선 논법
1. 수열의 수열
가산집합
대각선 논법
도전: 실수에 번호 붙이기
도전: 유리수와 대각선 논법
2. 형식적 체계의 형식적 체계
무모순성과 완전성
괴델의 불완전성 정리
산술
형식적 체계의 형식적 체계
용어의 정리
수항
대각화
수학의 정리
3. 찾는 물건의 찾는 물건
유원지

8. 두 개의 고독이 만나면
1. 겹치는 짝
테트라가 깨달은 것
내가 깨달은 것
누구도 깨닫지 못한 것
2. 집
나의 수학
표현의 압축
덧셈의 정의
교사의 존재
3. 동치 관계
졸업식
짝으로 인해 생겨나는 것
자연수에서 정수로
그래프
동치 관계
몫집합
4. 레스토랑
엄마와의 외식
양 날개로 날아가렴
무력 테스트

9. 망설임의 나선계단
1. 0/3?라디안
불쾌한 유리
삼각함수
sin 45°
sin 60°
사인 곡선
2. 2/3?라디안
라디안
가르친다는 것
3. 4/3?라디안
휴강
잉여
등대
해안가
소독

10. 괴델의 불완전성 정리
1. 나라비쿠라 도서관
입구
염소
2. 힐베르트 계획
힐베르트
퀴즈
3. 괴델의 불완전성 정리
괴델
토론
증명의 큰 틀
4. 봄: 형식적 체계 P
기본 기호
수항과 기호
논리식
공리
추론 규칙
5. 점심시간
메타 수학
수학을 수학하다
깨달음
6. 여름: 괴델수
기본 기호의 괴델수
행렬의 괴델수
7. 가을: 원시 재귀성
원시 재귀적 관계
원시 재귀적 관계(술어)의 성질
표현 정리
8. 겨울: 증명 가능성에 이르는 긴 여행
장비를 정비하다
정수론
행렬
변수ㆍ기호ㆍ논리식
공리ㆍ정리ㆍ형식적 증명
9. 새봄: 결정 불가능한 문장
계절의 확인
씨앗: 의미의 세계에서 형식의 세계로
새싹: p의 정의
가지: r의 정의
잎: A1으로부터의 흐름
봉오리: B1으로부터의 흐름
결정 불가능한 문장의 정의
매실: ￢ IsProvable(g)의 증명
복숭아: ￢ IsProvable(not (g))의 증명
벚꽃: 형식적 체계 P가 불완전하다는 것의 증명
10. 불완전성 정리의 의미
나는 증명할 수 없다
제2의 불완전성 정리 증명의 요점
불완전성 정리가 생성하는 것
수학의 한계?
11. 꿈을 실어 보내며
끝이 아니야
나만의 것

에필로그 세상의 비밀을 감추고 있는 수학이라는 마법
맺음말
감수의 글

유키 히로시 프로그래밍과 암호, 수학 등에 관한 저서를 30권 이상 집필했다. 같은 책을 읽고 또 읽는 것을 좋아하며 프로그램 제작과 글쓰기가 취미이자 직업이다. 『미르카 수학에 빠지다(Math Girls)』 시리즈는 20여 년간 사랑받아 온 수학소설로 수학적 사고의 즐거움을 알려주는 놀라운 책이다. 주요 저서로는 「수학 걸」 시리즈(전6권), 「수학 걸의 비밀 노트」(전15권), 「수학 걸의 물리 노트」, 만화판 『수학 걸』 등이 있다.