수, 방정식과 유클리드 기하

"누군가 "수란 무엇인가?"라고 묻는다면, 당신은 어떻게 대답할 것인가?

이 책은 "수란 무엇인가?"라는 물음에서 시작하여 가우스, 갈루아, 힐베르트의 업적을 축으로 수론 · 대수학 · 기하학 등 현대수학의 기초를 서로 관련지으면서, '수의 개념'으로부터 종이접기에 의한 작도문제에 이르기까지를 쉽게 해설하고 있다. 따라서 장차 수학을 배우려고 하는 사람이나 이미 전문 과정에서 수학을 배우고 있는 학생들에게 '수'가 무엇인지를 알려주는 길잡이가 될 것이다.



[이 책의 구성]

제1장은 복소수에 이르기까지 수가 발전해 온 대략적인 역사와, 가우스에 의한 대수학의 기본정리의 증명을 다루고 있다. 이 증명에는 연속함수의 성질을 약간 이용하는데, 누구나 직감적으로 이미 알고 있을 것이다. 제2장은 군이나 환이라는 대수계에 대한 설명이다. 단, 너무 일반론을 다루지는 않고 다항식이 가지는 성질에 초점을 맞추었다. 고등학교에서 배우는 다항식이나 방정식에서 약간 더 나아간 이론이므로, 구체적으로 이해할 수 있을 것이다. 여기서 필요한 지식은 선형대수의 기초 정도이다. 제3장은 갈루아에 의한 5차 이상의 대수방정식의 비가해성(해의 공식이 존재하지 않음)의 증명과 그것을 위한 준비를 다룬다. 제4장과 제5장은 유클리드 기하에 관한 것이다. 제4장에서는 힐베르트에 의한 유클리드 기하의 공리계와 실수의 관련성을 설명한다. 마지막으로 제5장에서는 유클리드 기하의 작도문제와 종이접기에 의한 작도문제를 다룬다. 이들을 이차 및 삼차방정식의 해와 결부시킴으로써 어떤 정다각형이 작도 가능한지 등을 알 수 있다."

제1장 수와 방정식

1.1 일차방정식과 유리수

1.2 이차방정식과 무리수

1.3 복소수

1.4 삼차와 사차방정식

1.5 대수학의 기본정리



제2장 대수계

2.1 체

2.2 백터공간

2.3 군

2.4 환과 다항식

2.5 다항식환에 관한 조금 깊은 결과



제3장 갈루아 이론

3.1 확대체

3.2 갈루아 이론

3.3 대칭식과 대칭군

3.4 원분체와 1의 n제곱근

3.5 갈루아가 생각한 것



제4장 유클리드 기하와 체

4.1 유클리드 기하와 실수

4.2 힐베르트의 공리계

4.3 공리에서 실수로

4.4 공리의 독립성



제5장 작도와 방정식

5.1 작도

5.2 종이접기

5.3 이 외의 방법에 의한 각의 삼등분



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