무리수: 헤아릴 수 없는 수에 관한 이야기

개요: 무리수는 고대 그리스인들에 의해 발견되었지만 19세기가 되어서야 비로소 적절하게 이해되고 엄밀하게 정의되었다. 그리고 오늘날까지도 무리수를 둘러싼 신비는 모두 밝혀지지 않았다. 이 주제에 관한 최초이자 포괄적인 책 『무리수: 헤아릴 수 없는 수에 관한 이야기』에는 고대부터 21세기에 이르기까지 무리수와 그것에 관한 문제에 맞서 싸운 수학자들에 관한 이야기가 담겨 있다.



무리수는 고대 그리스인들에 의해 발견되었지만 19세기가 되어서야 비로소 적절하게 이해되고 엄밀하게 정의되었다. 그리고 오늘날까지도 무리수를 둘러싼 신비는 모두 밝혀지지 않았다. 지난 2008년 승산에서 번역 출간한 『오일러 상수 감마』에 이어 두 번째로 소개하는 해빌의 저작 『무리수: 헤아릴 수 없는 수에 관한 이야기』는 무리수에 관한 최초이자 포괄적인 책으로, 피타고라스 학파와 오일러, 칸토어 등의 수학자를 유혹하고 고민에 빠뜨린 경이로운 무리수의 세계로 독자를 안내한다.

무리수는 2000년 이상의 세월을 거쳐 현대 수학에서 빼 놓을 수 없는 주역이 되기까지 참으로 고단한 길을 걸어 왔다. 무리수가 정의되는 방식만 살펴보더라도 그 배경을 짐작할 수 있을 텐데, 예를 들어 무리수는 '유리수가 아닌 수', '두 정수의 비로 나타낼 수 없는 수', '유한 소수나 순환 소수로 표현할 수 없는 수' 등과 같이 언제나 부정형으로 정의된다. 마치 홀수를 '짝수가 아닌 수'로 정의하는 것처럼 말이다.

무리수의 기원은 고대 그리스 시대까지 거슬러 올라가는데, 그리스인들이 처음으로 발견한 무리수는 오늘날 우리가 인식하고 있는 것과 같은 무리수가 아니었다. 그들은 정사각형의 한 변과 대각선을 '같은 단위로 잴 수 없음(incommensurability)'을 보였고, 이것이 바로 오늘날 우리가 무리성(irrationality)이라 부르는 개념에 해당한다. 무리수의 발견은 '모든 것은 수에 의해 측정될 수 있다'는 철학을 가진 피타고라스 학파에게 결코 반가운 소식이 아니었다. 따라서 그들은 최대한 무리수를 피하려 했고 기하학을 이용해 그 난해함을 무마시키려 했다. 이렇게 오랜 시간 방치되다시피 한 무리수를 수의 한 종류로서 받아들이고 그에 대한 진정한 의의나 가능성을 이해하여 유리수와 마찬가지 방식으로 다루기 시작한 것은 인도와 아라비아 문명권이었다.

무리수에 대한 이해가 심화되는 과정을 살펴보기 위해서는 반드시 유클리드의 『원론』을 참조해야 한다. 특히 열세 권 가운데 (전체의 4분의 1을 차지하는 만큼) 틀림없이 가장 길고 가장 어려운 부분인 제10권은 '같은 단위로 잴 수 없는' 것들에 대한 산술을 요약하는 데 많은 부분을 할애하고 있는데, 그중 몇 가지 중요한 정의와 명제가 『무리수: 헤아릴 수 없는 수에 관한 이야기』에 소개되어 있다. 그렇다고 해서 이 책의 목적이 『원론』 전체를 이해하는 데 있는 것은 아니다. 이 책의 목적은 유클리드가 '같은 단위로 잴 수 없음'이라는 개념에 대한 에우독소스의 방법을 어떻게 증명하고 그것에 의해 생겨난 문제들을 효과적으로 다루었는지를 보여주는 데 있다.

이 책은 실변수 미적분학과 이와 관련된 극한과 급수에 익숙한 독자들을 위해 쓰였지만, 수학적 훈련이 조금 덜 되어 있더라도 호기심과 열정이 대단한 독자들도 충분히 읽어낼 수 있을 만큼 흥미롭고 알기 쉽게 서술되었다. 오랜 기간 수학을 가르쳐 왔던 저자가 소개하는 수학의 근본 아이디어들을 따라가다 보면, 무리수의 역사를 이루는 여러 결과들 가운데 몇 가지 중요한 내용에 관해 상세히 알게 될 것이며, 순수 수학 발전 과정에서 무리수가 얼마나 중요한 위치를 차지하는지 파악할 수 있을 것이다.



추천사

수학자로 사는 것은 충분히 어려운 일이다. 수학은 학교 교육을 받은 사람들조차도 그에 대해 아무것도 알지 못하는, 아니 그저 그뿐만 아니라 그들의 무지를 자랑스럽게 뽐낼지도 모르는 무서운 주제이다. (『앨런 튜링』의 저자 앤드류 호지스)



현대적인 수학의 형태를 띠고 있는 이 책을 통해 많은 독자들은 이 분야에서 잘 알려지지 않은 놀라운 내용들을 만나게 될 것이다. 그곳에는 여전히 탐험할 것이 많이 남아 있다.

바르보, 매스매티컬 리뷰 클리핑



수학자뿐만 아니라 수학에 일반적으로 관심이 있는 독자에게도 열렬히 권할 수 있는 책이다. 하지만 증명도 조금은 읽어 내려갈 준비가 필요하다. 그저 앙상한 뼈대만 남겨둔 채 모든 증명을 지나치는 것은 개념을 부당하게 대우하는 것이기 때문이다. 그러나 가장 어려운 증명 몇 개는 뛰어넘어도 좋다. 문체를 비롯해서 잘 정리된 역사적 내용과 현대적 상황에 대한 참고문헌들과 융합된 인용구들은 이 책을 아주 훌륭한 읽을거리로 만든다. (벌트힐, 유럽 수학회)



독자들은 주제에 대한 해빌의 장악력과 그의 훌륭한 글쓰기 솜씨에 놀랄 것이다.

(『Fearless Symmetry』의 공저자 로버트 그로스)

서문

1 그리스 기원

2 독일로 가는 길

3 새로운 두 무리수

4 오래된 그리고 새로운 무리수들

5 매우 특별한 무리수

6 유리수에서부터 초월수까지

7 초월수

8 연분수 다시보기

9 무작위성에 관한 질문과 문제들

10 한 가지 질문, 세 가지 대답

11 무리수성이 문제가 되는가?

부록

역자 후기

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줄리언 해빌 저자 줄리언 해빌(Julian Havil)은 영국 윈체스터칼리지(Winchester College)에¼? 오랫동안 수학을 가르쳤다. 윈체스터칼리지는 수학 분야에¼? 가장 뛰어³? 전통 있는 학교로 알려져 있으며, 영국의 위대한 수학자 하디와 프리먼 다이슨 등을 배출한 사립학교이다. 줄리언 해빌 박사의 저¼?로는 『오일러 상수 감마』(승산, 2008) 『불가능하다고? 직관에 반하는 수수께끼들의 놀라운 해법』 『수수께끼! 불가능한 아이디어들의 수학적 증명』 등이 있다.