갈루아 이론의 정상을 딛다

▼ 에바리스트 갈루아

1811년 프랑스에서 태어난 갈루아는 불과 열두 살에 르장드르의 『기하학 원론』을 비롯해 라그랑주와 아벨의 논문을 탐독할 정도로 수학에 두각을 드러내는 천재였다. 그러나 성격이 다소 과격하고, 때로 자신감이 과도하게 넘쳐 자신의 능력을 타인에게 설득할 인내심이 부족했던 갈루아는, 고등 교육 기관인 에콜 폴리테크니크 입학시험에서 뛰어난 실력에도 불구하고 탈락하거나, 학회에 기고하는 논문이 무시당하고, 그중 일부는 심지어 유실되는 등 청년 시절 연이은 불운을 겪었다. 갈루아는 당대의 수학자들에게 인정받지 못한 채 공화주의자로 프랑스 혁명에 가담하여 옥살이를 하기도 하며 고초를 겪다가, 20세인 1832년 권총 결투에 의한 부상으로 사망했다.

갈루아는 결투가 벌어지기 전날 밤 죽음을 직감한 듯 친구 오귀스트 슈발리에게 그동안 연구한 수학 이론을 간략히 편지에 담아 보내며, 자신에게는 남은 시간이 얼마 없으니 정리의 참과 거짓 보다는 중요성에 대한 평가를 야코비와 가우스에게 부탁한다는 말을 남겼다. 그가 생전에 내놓은 세 편의 논문은 11년 후인 1843년《수학저널(Jounal of Mathemastigues)》의 편집인 리우빌에 의해 세상에 소개되었고 1870년 조르당이 《대입론과 대수방정식론》에서 그 이론을 완전하게 정리하였다. 이후 클라인과 리가 갈루아의 군론을 기하학에 응용하여 기하, 대칭과 군론이 서로 불가피하게 관련되어 있다는 사실이 드러나게 되었고, 갈루아의 이론은 수학의 전 분야에서 기존의 관점을 뒤엎는 많은 연구를 생산해내게 되었다.

갈루아가 정립한 군론이 지니는 통합적 힘이 너무도 강력했기 때문에 19세기 말이 되자 군론의 포괄 영역이 곧 순수 수학의 경계를 넘을 것임이 분명해졌다. 특히 물리학자들이 군론에 주목하기 시작하였고 아인슈타인은 일반상대성이론에 군론을 이용하면서 앞으로 군론이 자연을 기술하는 강력한 언어가 될 것임을 보여주었다. 1970년부터는 갈루아 이론을 중심으로 수학의 각 분야를 통합하려는 시도인 랭글랜즈 프로그램이 진행되고 있다.



▼ 물리학에서의 응용

현대의 수학자들과 물리학자들에게 필수 불가결한 도구이자 심오한 아름다움을 가진 '대칭'은 바로 갈루아의 군 이론에서 나온 대수학의 개념이다. 대칭이라는 개념은 높은 추상성과 광범위한 응용 범위를 가지는, 상당히 흥미로운 탐구 주제이다.

대칭을 기술하는 군론이 오늘날 가장 빛을 발하는 분야는 현대 물리학이다. 일상의 상식을 뛰어넘는 초미시 영역을 다루는 현대 물리학은 수학적 예측에 의해 연구되며, 특히 근본 단위에서 자연은 대칭으로 규정된다. 물질의 가장 깊숙한 구조를 조사하고 미시적 거리와 찰나의 시간을 탐구하는 현대 물리학의 연구들은 대칭이 어떻게 이 세계를 결정하는 물리적 과정을 지배하는지 직접 우리 눈앞에 증거를 펼쳐 보이고 있다.

오늘날 물리학의 과제는 자연에 존재하는 네 가지 힘을 더 근본적인 하나의 힘 또는 대칭 체계로 설명하는 것이다. 이러한 접근은 힘을 하나로 통합한다는 뜻에서 통일장 이론이라 불린다. 20세기의 물리학자들은 갈루아가 창안한 군론을 이용해 세 힘인 약력, 전자기력, 강력을 통합했고 그것이 오늘날의 표준 모형이다. 군론은 이론의 뼈대를 이루는 게이지 불변과 더불어 표준 모형의 살을 이룬다. 군론은 입자들의 상호작용을 규정하는 매개 입자들을 그 성질에 따라 몇 개의 집합으로 고르고 묶어내는 데 사용된다. 표준이론에서 유력한 통일장 이론의 후보인 M이론에 이르기까지 대칭과 군론에 대한 이해 없이는 더 이상 최신 물리학의 성과를 이해할 수 없게 되었다.



▼이 책의 특징

갈루아 이론은 수학과 양자물리학에 흥미를 느끼는 독자들이 보다 심도 있는 독서를 이어나가고자 할 때 꼭 알아야 할 내용이지만, 이론을 이해하는 데 먼저 짚고 넘어가야 할 정리와 개념의 양이 많고 또 어려워 흥미만으로 쉽게 다가갈 수 없었다. 갈루아 이론을 다룬 교양서는 증명이 충실히 적혀 있지 않아 갈루아 이론의 전모를 파악하기에 부족했고, 전공 도서의 경우 독자가 선형대수의 기본 사항을 알고 있다고 간주하여 많은 정리의 증명을 건너뛰는 경우가 많아, 수학 전공자가 아닌 독자는 쉽게 좌절할 수밖에 없었다.



이 책은 독자가 고등학교 수준의 수학적 지식만을 갖추었다고 가정하고, 그 밖의 내용은 처음 접한다는 생각으로 갈루아 이론의 증명에 이르는 과정을 처음부터 끝까지 친절하게 설명한다. 등장하는 모든 정리에 증명 과정을 해설해두었기 때문에 선형대수학을 모르는 독자여도 다른 책을 참고하지 않고 마지막까지 읽을 수 있다. 수학책 가운데는 초보자에게는 어려울 수 있는 문제도 연습문제의 형태로 남겨 두고 넘어가는 책이 많으나, 이 책에 등장하는 '문제'에는 그 아래 곧바로 해설이 이어진다. 책상 앞에서 펜을 들어 문제를 풀지 않더라도 언제 어디서나 편하게 책을 읽는 데 무리가 없도록 독자를 배려했다.



《갈루아 이론의 정상을 딛다》는 그동안 승산이 출간한 일곱 권의 대칭 시리즈가 다뤘던 내용에 수학적 이해를 보다 견고히 보강하기 위해 출간되었다. 갈루아 이론을 다루는 흥미로운 교양서적과 보다 전문적인 전공 교재 사이에서 이 책이 훌륭한 징검다리 역할을 해줄 것이라 기대한다.

머리말



제1장 정수

1. 최대공약수를 구하기

- 유클리드의 호제법

……정리1.1 호제법의 원리

……정리1.2 1차부정방정식

……정리1.3 1차부정방정식



2. 나머지 계산

- 잉여류

……정의1.1 합동식

……정의1.2 합동식

……정리1.4 합동식의 성질



3. 정육각형을 회전시키기

- 순환군

……정의1.3 군의 정의



4. 군이 같다는 것

- 군의 동형

……정의1.4 군의 동형



5. 일부의 원소로도 군이 된다

- 부분군

……정리1.5 순환군의 부분군



6. 두 개의 군으로 군을 만들기

- 군의 직적

……정의1.5 군의 직적

……정리1.6 중국 나머지정리

……정리1.7 중국 나머지정리: 3개의 수

……정리1.8 ?/n?의 분해



7. 곱하여도 군이 된다!

- 기약잉여류군

……정의1.6 기약잉여류군



8. (Z/pnZ)*는 직적으로 쓸 수 있는가?

- 기약잉여류군의 구조 분석

……정리1.9 기약잉여류의 분해

……정의1.7 오일러 함수

……정리1.10 기약잉여류의 원소의 개수



9. (Z/pZ)*는 순환군이다

- 원시근으로 생성

……정리1.11 F_p 위의 1차방정식

……정리1.12 F_p 위에서의 나머지정리

……정리1.13 F_p 위에서의 인수정리

……정리1.14 F_p 위의 방정식의 해의 개수



10. 소수 p의 원시근은 분명히 있다

- 원시근의 존재 증명

……정리1.15 a가 생성하는 순환군

……정리1.16 원시근의 존재

……정리1.17 (?/p?)^*는 순환군



11. 기약잉여류군을 해부하기

- (Z/pZ)*의 구조

……정리1.18 (?/2^n?)^*의 구조

……정리1.19 (?/p^n?)^*의 구조

……정리1.20 기약잉여류군의 구조



제2장 군

1. 정삼각형의 대칭성 알아보기

- 이면체군

……정리2.1 g에 의한 교체

……정리2.2 g가 부분집합에 작용

……정의2.1 이면체군



2. 부분군으로부터 잉여군 만들기

- 일반 잉여군

……정리2.3 잉여류

……정리2.4 라그랑주의 정리

……정리2.5 위수 제곱은 항등원

……정리2.6 페르마의 소정리, 오일러의 정리

……정리2.7 잉여군의 항등원



3. 정육면체의 대칭성을 알아보기

- S(P_6)

……정리2.8 잉여군

……정리2.9 순환군의 잉여군은 순환군

……정리2.10 절반의 부분군은 정규부분군



4. 동형사상이 아니래도!

- 준동형사상

……정의2.2 군의 준동형사상

……정리2.11 Imf는 군

……정리2.12 Kerf는 군

……정리2.13 준동형정리



5. 동형을 만들기

-제2동형정리, 제3동형정리

……정리2.14 부분군이기 위한 조건

……정리2.15 부분군의 연산

……정리2.16 제2동형정리

……정리2.17 제3동형정리



6. 사다리타기가 만드는 군

- 대칭군 S_6

……정리2.18 치환은 호환의 곱

……정리2.19 대칭군의 생성원

……정리2.20 치환의 홀짝 성질

……정리2.21 교대군

……정리2.22 교대군과 대칭군

……정리2.23 교대군은 삼환의 곱

……정리2.24 교대군의 생성원



7. 크기 순서로 포함되는 구조를 갖는 순환군

- 가해군

……정의2.3 가해군

……정리2.25 순환군의 직적은 가해군

……정리2.26 교대군의 비가해성

……정리2.27 가해군의 부분군도 가해군

……정리2.28 대칭군의 비가해성

……정리2.29 준동형사상의 상도 가해군

……정리2.30 잉여군도 가해군



제3장 다항식

1. 기본대칭식으로 나타내기

- 대칭식

……정리3.1 대칭식의 기본 정리



2. 다항식에서 소수

- 기약다항식

……정리3.2 F_p 위의 다항식은 정역

……정리3.3 유리수 계수 다항식의 기약성

……이것의 대우

……정리3.4 아이젠슈타인의 판정조건



3. 정수와 다항식의 유사성

- 다항식의 합동식

……정리3.5 다항식의 1차부정방정식

……정리3.6 기약다항식의 정질



4. 기약다항식으로 나누어도 체

- Q[x]/(f(x))

……정리3.7 기약다항식에 의한 체



제4장 복소수

1. 2차방정식에서 복소수가 나온다

- 복소수

……정리 대수학의 기본 정리

……정리4.1 켤레복소수의 계산 법칙

……정리4.2 켤레복소수끼리 더하거나 곱하면 실수

……정리4.3 켤레복소수도 해



2. 복소수가 활약하는 무대

- 복소평면

……정리4.4 복소수의 곱셈에서 절댓값과 편각

……정리4.5 복소수의 나눗셈에서 절댓값과 편각

……정리4.6 복소수의 n제곱



3. 원을 n등분하는 점

- 1의 n제곱근

……정리4.7 1의 n제곱근

……정리4.8 복소수의 n제곱근

……정리4.9 1의 원시n제곱근



4. 1의 원시 n제곱근을 해로 갖는 방정식

- 원분다항식

……정의4.1 원분다항식

……정리4.10 소수 차수의 원분다항식

……정리4.11 1의 n제곱근의 합의 공식



5. n차방정식에는 반드시 해가 있다

- 대수학의 기본 정리

……정리4.12 대수학의 기본 정리

……정리4.13 복소수 계수 2차방정식의 해의 존재

……정리4.14 실수 계수 다항식의 해의 존재

……정리4.15 복소수 계수 방정식의 해의 존재

……정리4.16 대수학의 기본 정리: 인수분해 버전



6. n이 합성수이어도 원분다항식은 기약

- phi(x)의 기약성의 증명

……정리4.17 mod p에서 p제곱

……정리4.18 해로부터 해를 만들기

……정리4.19 원분다항식의 기약성



제5장 체와 자기동형사상

1. 무리수의 계산을 간단하게 하기

- Q(루트3)의 대칭성

……정의5.1 체의 정의

……정의5.2 체의 동형사상

……정리5.1 유리수는 동형사상에 의하여 불변



2. 이 계산, 어디선가 보았는데!

- Q[x]/(f(x)) cong Q(alpha)

……정리5.2 최소다항식과 기약다항식

……정리5.3 단순확대체 Q(alpha)의 원소 표현의 일의성

……정리5.4 다항식의 잉여류군과 단순확대체



3. 동형은 n개

- Q(alpha_1) cong Q(alpha_2) cong … cong Q(alpha_n)

……정리5.5 f(x)가 만들어 내는 동형

……정리5.6 동형사상과 유리함수는 순서를 바꿀 수 있음

……정리5.7 동형사상은 해를 켤레인 해로 옮긴다

……정리5.8 동형사상은 해를 치환시킨다: 해의 치환

……정리5.9 Q(alpha)의 동형

……정리5.10 Q(alpha)에 작용하는 동형사상은 n개



4. 체의 차원을 파악하기

- 선형대수의 보충 설명

……정의5.3 선형공간

……정의5.4 일차독립, 일차종속의 정의

……정리5.11 일차독립, 일차종속

……정의5.5 기저의 정의

……정리5.12 표현의 일의성

……정리5.13 기저의 완전성

……정리5.14 Q(alpha)의 기저

……정리5.15 선형공간의 차원

……정의5.6 차원

……정리5.16 선형공간의 일치



5. 방정식의 해를 포함하는 체

- 최소분해체 Q(alpha_1, alpha_2, … alpha_n)

……정의5.7 최소분해체

……정리5.17 동형사상이 자기동형사상으로 되는 조건

……정리5.18 자기동형사상의 곱도 자기동형사상

……정리5.19 자기동형군



6. 4차방정식의 예

- 중간체



7. 2단 확대

-Q(alpha, beta)

……정리5.20 차원의 곱셈 공식

……정리5.21 동형사상의 연장

……정리5.22 Q(alpha, beta)에 작용하는 동형사상



8. 불변부분군과 불변체가 대응하고 있다!

- 갈루아 대응

……정리5.23 불변체

……정리5.24 불변부분군



9. 확대체는 모두 단순확대체

- Q(alpha_1, …, alpha_n)=Q(theta)

……정리5.25 원시원의 존재

……정리5.26 대수적 확대체는 단순확대체

……정리5.27 최소분해체는 단순체확대



10. 동형사상에 의해서 벗어나지 않는다

- 갈루아 확대체

……정리5.28 (최소분해체의 차수)=(갈루아군의 위수)

……정의5.8 갈루아 확대체

……정리5.29 Q(alpha)가 갈루아 확대체가 되는 조건



11. 2단 확대 이론으로 증명하기

- 갈루아 대응의 증명

……정리5.30 최소분해체의 정규성

……정리5.31 M의 갈루아군

……정리5.32 차수 공식

……정리5.33 갈루아 대응: M으로부터 시작하기

……정리5.34 갈루아 대응: H로부터



12. M/Q는 갈루아 확대인가?

- 중간체가 갈루아 확대체로 되는 조건

……정리5.35 sigma(M)과 sigmaHsigma^-1의 대응

……정리5.36 중간체가 갈루아 확대체가 되는 조건



제6장 근호로 나타내기

1. 1의 n제곱근을 거듭제곱근으로 나타내기

- 원분방정식의 가해성

……정리6.1 1의 제곱근의 거듭제곱근 표현



2. 3차방정식을 거듭제곱근으로 풀기

- 3차방정식의 근의 공식



3. 3차방정식의 갈루아 대응을 구하기

- 거듭제곱근 확대



4. 4차방정식을 거듭제곱근으로 풀기

- 4차방정식의 근의 공식



5. 4차방정식의 갈루아 대응을 알아보자

- 거듭순환 확대체

……정리6.2 가해군과 거듭순환 확대의 대응



6. 1의 거듭제곱근을 만드는 체

- 원분확대체의 갈루아군

……정리6.3 원분확대체의 갈루아군



7. x^n-a=0이 만드는 확대체

- 쿠머 확대

……정리6.4 거듭제곱근 확대로부터 순환 확대를 만든다



8. 순환 확대는 x^n-a=0으로 만들 수 있다

- 순환 확대에서 거듭제곱근 확대로

……정리6.5 순환 확대로부터 거듭제곱근 확대를 만든다

……정리6.6 데데킨트의 보조 정리

……정리6.7 거듭제곱근 확대를 만드는 거듭제곱근의 존재



9. 피크 정리에 서자!

- 거듭제곱근으로 풀 수 있는 방정식의 조건

피크 정리

……정리6.8 가해군일 때, 해는 거듭제곱근으로 표현된다

……정리6.9 누차거듭제곱근 확대체의 갈루아 폐포

……정리6.10 해가 거듭제곱근으로 표현될 때는 가해군



10. 5차방정식의 근의 공식은 없다

- 갈루아군이 가해군이 아닌 방정식

……정리6.11 위수 p인 원소의 존재 - 코시의 정리



맺음말

찾아보기

이시이 도시아키 저자 이시이 도시아키는 1965년 도쿄에서 태어나 도쿄대학교 건축학과를 졸업한 후 도쿄공업대학에서 수학과 석사 학위를 취득했다. 어른을 위한 수학 교실 [화和]의 강사이다. 다양한 수학 도서를 집필하고 편집하는 한편, 중학교 시험, 대학교 시험, 수학(數學)능력검정시험을 대비한 수학부터 다변량해석의 기초로서 선형대수, 보험계리사를 위한 수학, 확률통계, 금융공학(Black-Scholes equation)에 이르기까지 폭넓은 분야에서 수학을 어려워하는 사람들을 대상으로 강의하고 있다.
저서로는 《중학 입시, 계산 명인의 비법전수》, 《중학 입시, 카드로 단련하는 도형의 필승 작전》, 《수학을 결정하는 논증력-대학으로 가는 수학》(이상 도쿄출판), 《일단 이 책부터, 의미를 알 수 있는 선형대수》, 《일단 이 책부터, 의미를 알 수 있는 통계학》, 《일단 이 책부터, 의미를 알 수 있는 다변량해석》(이상 베레출판)이 있다.