돈키호테는 수학 때문에 미쳤다

그리스 신화에서 해리포터까지!

괴짜 수학자의 인문학 여행



1. 돈키호테는 왜 수학 때문에 미쳤을까?



광기와 수학은 참 닮아 있다. 수학자 중에는 미쳐 버린 사람이 많다. 탈레스는 수학에 미쳐 물웅덩이에 빠졌고, 아르키메데스는 수학 문제에 빠져 생명을 잃었다. 게임 이론으로 노벨상을 받은 존 내시 역시 환각 증세로 수십 년을 고생했다. 광기와 수학의 닮은꼴에 대한 증거들이다.

수학은 수학만의 고유한 세계를 구축했다. 그 세계는 몸으로 갈 수 없고 머리로만 들어갈 수 있다. 우리가 경험하는 세상과는 다른 세상이다. 그곳에는 사고의 무한한 자유가 보장되어 있고, 아이디어라는 존재들이 살아간다. 아이디어가 뚜렷할수록 그리고 독특할수록 창조성을 인정받는다. 그 세계는 미쳐야 다다를 수 있고, 이미 다다랐다면 반은 미쳐 있는 상태라고 할 수 있다.

《돈키호테는 수학 때문에 미쳤다》의 저자는 광기의 다른 이름이라 할 수 있는 '수학'으로 돈키호테의 행동을 새롭게 분석했다. 돈키호테는 정상적으로 살아가다가 기사도 소설에 빠지면서 미쳐 버린 후천적 광인이었다. 그의 몰락은 근대 문명이 대두되는 17세기의 시대 상황과 무관하지 않다. 따라서 근대 문명의 토대인 수학과 돈키호테의 광기는 어떤 식으로든 관련될 수밖에 없다. 대체 광기와 수학 사이에 어떠한 연관이 있는 것일까?



2. '그리스 신화'에서 '해리 포터'까지



《돈키호테는 수학 때문에 미쳤다》는 '그리스 신화'를 다룬 《신통기》 같은 고전부터 《백설 공주》를 포함한 세계 명작 동화, 《다빈치 코드》와 《해리 포터》 같은 베스트셀러 소설에 이르기까지 서양의 대표적인 작품을 모두 아우르고 있다. 그중에서도 어렵게 느껴지는 철학서를 바탕으로, 재미난 수학적 의문을 제기하고 신선한 관점으로 해설하는 부분이 특히 인상적이다.

저자는 플라톤이 저술한 《소크라테스의 변명》을 수학의 증명법과 연관시켜 구체적으로 설명한다. 소크라테스는 적절한 증명법을 도입하여 자신을 고발한 멜레토스의 주장을 반박하고 스스로를 변호하였다. 증명을 할 때는 근거를 대거나 증거를 제시해야 하는데, 증거란 주장을 바로 확인해 주는 구체적인 것을 의미한다. 그러나 소크라테스는 그가 신을 믿고 있다는 증거를 직접 보이지 않았다. 대신 '소크라테스가 신을 믿지 않는다'는 멜레토스의 주장이 틀렸다는 걸 보이려 했다. 멜레토스의 주장과 소크라테스의 주장은 정반대이기 때문에, 소크라테스의 실상은 분명 '신을 믿는다' 또는 '신을 믿지 않는다' 둘 중 하나이다. 따라서 멜레토스의 주장이 틀렸다는 걸 보이게 되면 '소크라테스는 신을 믿는다'가 성립된다. 일반적인 증명법은 자신의 주장에 맞는 근거를 대는 것이지만, 소크라테스처럼 상대방의 주장이 잘못되었음을 보이는 방법도 있는 것이다.

이외에도 저자는 《걸리버 여행기》에서 비율의 개념을, 《플랫랜드》에서는 도형의 개념을 연관시키는 등 각각의 작품에 반영되어 있는 수학적 세계관은 물론, 한눈에 보이지 않는 수학적 요소를 낱낱이 밝혀내고 있다. 얼핏 보기에는 아무런 관련이 없어 보이지만 "이성을 토대로 하고" 있는 문학과 "가장 이성적인 언어"라 할 수 있는 수학은 함께 논의될 수 있다. 인문학과 수학의 경계를 무너뜨린 이 책은 독자들이 융합적이고 깊이 있는 사고를 할 수 있도록 도움을 줄 것이다.



3. '괴짜 수학자'의 수학으로 인문학 하기!



《돈키호테는 수학 때문에 미쳤다》는 수학에 관심 있는 사람들이 '인문학 속에 담긴 수학적 해석'을 통해 독특한 지적 흥미를 가지도록 유도할 뿐만 아니라, 수학을 어려워하는 사람까지도 재미를 느낄 수 있게 한다. 이는 독자들에게 익숙한 고전과 세계 명작 동화 그리고 근현대 소설을 소재로 삼았기에 가능한 일이었다. 각각의 이야기 속에는 우리가 미처 알지 못했던 수학의 세계가 넓게 펼쳐져 있다. 따라서 독자들은 '백설 공주의 난쟁이는 왜 일곱 명일까?', '로빈슨 크루소, 수학으로 살아남다', '수학이 죽어야 모모가 산다'와 같은 참신한 주제로 작품을 새롭게 읽어 나가게 된다.

저자는 "현실과 뒤섞여 있지만 현실과는 다른 수학을 소개해 주는 곳, 학생의 몸과 마음의 결을 따라 수학적 재능을 키워 주는 스승"이 필요하다고 생각한다. 그래서 오랫동안 역사와 문학, 철학과 예술을 넘나드는 독특한 방식으로 수학을 가르치며 대안을 찾아 왔다. 이제 예리하고 논리적인 수학의 시선으로 인문학을 재조명해 보자. 기존의 작품들이 살아 움직이는 것을 발견할 것이다. 그리고 이 책이 제시하는 새로운 수학 공부법을 통해 독자들은 "수학이 마법처럼 즐겁고 신비로운 세계, 그곳으로 통하는 틈" 역시 찾을 수 있을 것이다.



책속으로 추가



소크라테스가 '신을 믿지 않는다'고 자신을 고발한 멜레토스의 주장을 반박하는 부분을 보자. 소크라테스는 멜레토스에게 자신이 전적으로 무신론자라는 건지, 무신론자는 아니지만 국가가 인정하는 신이 아닌 다른 신을 믿는다는 것인지를 물었다. 이 물음은 매우 중요하다. 문제가 무엇인지 정확히 규정함으로써 나중에 빠져나갈 구멍을 봉쇄하기 위한 거였다. 수학에서 맨 처음 용어를 분명하게 정의하는 것과 같다. 멜레토스는 무신론자라고 답했다. 멜레토스의 의중을 확인한 소크라테스는 다소 엉뚱한 질문을 한다.

"마술(馬術)을 믿으면서 말(馬)의 존재를 믿지 않거나, 피리 부는 법을 믿으면서 피리 부는 사람의 존재를 믿지 않을 수 있습니까?"

말과 피리에 관한 질문은 소크라테스의 의도와 전혀 관련이 없어 보인다. 신을 믿는다는 증거가 될 것 같지 않아서인지 멜레토스는 자연스럽게 소크라테스가 기대하던 대답을 했다. "마술을 믿으면서 말의 존재를 믿지 않을 수는 없다"고 말이다. 이 답변을 듣자 소크라테스는 말한다.

"멜레토스는 고소장에 내가 정령이나 신의 힘을 가르쳤다고 했다. 정령이나 신의 힘을 가르쳤다면 정령을 믿는다는 것이 아닌가. 그런데 정령은 신이 아닌가?"

정령을 믿는다면 신을 믿는다는 뜻이었다. 돌고 돌아 신을 믿지 않는다는 멜레토스의 주장을 반박한 것이다.

_ 본문 《소크라테스는 증명 때문에 죽었다》 중



그런데 《백설 공주》에 등장하는 난쟁이는 왜 일곱 명일까? 일곱 명의 난쟁이라는 설정은 우연일까 아니면 의도적일까? 수학으로 세상을 바라보면서 새롭게 던져 본 질문이었다. 보여 주던 대로 보고 들려주던 대로 듣다가 그냥 툭 던져진 것이었는데, 찾아볼수록 일곱 명이라는 설정이 우연이 아닌 것 같아 새삼 놀랐다. (…)

《백설 공주》 이야기에는 7과 관련된 설정이 많다. 왕비의 위협으로부터 도망친 공주는 집을 하나 발견해 들어갔다. 거기에는 작은 접시 일곱 개가 놓여 있었다. 스푼, 나이프, 포크, 컵 그리고 침대도 작은 것으로 일곱 개씩 있었다. 일곱 난쟁이가 살고 있었으니 당연했다. 이후 공주가 살아 있다는 걸 안 왕비는 공주를 죽이기 위해 변장을 하고 직접 찾아가는데, 이때 왕비는 일곱 개의 산을 넘어야 했다. 그리고 백설 공주를 죽이려는 시도가 번번이 실패하자 왕비는 일곱 개의 산을 일곱 번 넘나들어야 했다. 공주를 둘러싸고 7이라는 설정이 이렇듯 반복된다.

7이라는 설정은 의도적이었다. 자기 작품을 정성 들여 만들어 본 사람은 안다. 그 안에 쓸모없이 등장하는 건 하나도 없으며, 작은 것 하나하나에도 의미가 담겨 있다는 것을. 소설가가 소설 속 등장인물과 배경을 설정할 때도 치밀한 구성을 바탕으로 주제를 가장 잘 드러낼 수 있는 배경을 설정하게 된다. 고로 백설 공주와 7이라는 설정은 최적화된 결과였다. 백설 공주의 이미지와 최상의 조합을 이루는 찰떡궁합이기 때문이다.

_ 본문 《백설공주의 난쟁이는 왜 일곱 명일까?》 중



우리는 《이상한 나라의 앨리스》를 조금 더 꼼꼼하게 읽어 볼 필요가 있다. 이 작품은 방향성 없이 전개되는 판타지 같지만 사실 정교하고 세심하게 고안된 이야기이다. 자유롭고 신비한 세상을 꼼꼼하고 치밀한 손길로 그려 나간 르네 마그리트(Ren? Magritte)의 그림과 같다. 마그리트가 초현실적인 이미지를 이성적으로 그려 냈듯이, 캐럴은 비현실적인 세계를 수학적인 감각으로 창조했다. 이상하고 틀린 것 같지만, 규칙이 다른 것이지 틀린 게 아니다.

앨리스가 외웠던 이상한 구구단을 다시 보자. 앨리스는 '4×5=12, 4×6=13'이라고 했다. 섣부르게 틀렸다고 결론짓지 말고 뭔가 다른 규칙이 있는 건 아닌지 살펴봐야 한다. '4×5=20'이다. 하지만 늘 그런 건 아니다. 20이란 표현이 유일하고 보편적인 것 같지만 그렇지 않다. 20은 10진법이라는 조건에서 맞는 모습일 뿐이다.

20을 10진법이 아닌 다른 진법으로 표현해 보자. 18진법의 자릿값은 십진법의 표현으로 1, 18, 182, … 이다. 20을 나타내려면 18의 자리 하나와 1의 자리 둘이면 된다. 10진법의 20은 18진법으로 12가 된다. 고로 '4×5=12'라는 표현이 틀린 게 아니었다. 10진법을 기준으로 보면 틀렸지만 18진법을 기준으로 하면 맞았다.

'4×6=13'이란 표현도 달리 보면 그 비밀을 풀 수 있다. 4×6은 10진법으로 24인데, 21진법으로 표현하면 13이다. 이런 식으로 달리 보면 이상한 구구단에 일정한 규칙이 있다는 걸 알게 된다. 4×5 이후의 곱셈은 18진법에서 3진법씩 증가시켜 표현하는 것이다! (…)

10진법에만 익숙한 사람에게 이상한 나라의 이상한 구구단은 어렵다. 어렵기에 틀렸다고 결론을 내리기가 쉽다. 정물화에 익숙한 사람이 추상적인 현대화를 감상하며 그림 같지도 않다고 평가하는 것과 마찬가지다. 이상한 나라는 규칙이 다른 세계일 뿐 틀린 세계는 아니다. 틀렸다고 부정해서도 안 되고 그럴 필요도 없다. 나에게 익숙하지 않은 규칙이 적용되고 있는 다른 세계로 여겨야 한다. 그곳에서 자리를 잡고 살 게 아니라면 여행하는 기분으로 둘러보자. 평상시 경험하지 못했던 감각과 정신이 깨어나는 유쾌함을 맛보게 될 것이다.

_ 본문 《앨리스는 이상한 나라에 다녀오지 않았다》 중

머리말



1. 자연수의 각축장, 그리스 신화 … 《신통기》

2. 고대인들이 수학을 활용한 방법 … 《역사》

3. 피타고라스는 이솝을 이길 수 없다 … 《이솝 우화》

4. 6이 악마의 숫자가 된 것은 7 때문이다 … 《성서》

5. 소크라테스는 증명 때문에 죽었다 … 《소크라테스의 변명》

6. 우주 창조의 첫 도미노, 비례 … 《티마이오스》

7. 앉아서 천 리를 내다보는 비법 … 《장미의 이름》

8. 돈키호테는 수학 때문에 미쳤다 … 《돈키호테》

9. 데카르트, 수학으로 꼬인 인생을 풀다 … 《방법서설》

10. 소인국과 거인국, 비율의 세계를 여행하다 … 《걸리버 여행기》

11. 로빈슨 크루소, 수학으로 살아남다 … 《로빈슨 크루소》

12. 수학, 8피트의 괴물을 만들어 내다 … 《프랑켄슈타인》

13. 백설공주의 난쟁이는 왜 일곱 명일까? … 《백설 공주》

14. 앨리스는 이상한 나라에 다녀오지 않았다 … 《이상한 나라의 앨리스》

15. 십육각형 때문에 국가 반란죄로 체포되다 … 《플랫랜드》

16. 수학을 모르면 어른을 이길 수 있다 … 《어린 왕자》

17. 수학이 죽어야 모모가 산다 … 《모모》

18. 다빈치가 남긴 수학 코드를 찾아라 … 《다빈치 코드》

19. 9와 3/4 승강장을 찾아서 … 《해리 포터》

김용관 저자 김용관은 고려대학교를 졸업했고 '성미산학교'와 '꽃피는학교'를 비롯한 여러 대안학교와 도서관 등에서 수학을 가르치고 있다. 또한 '수냐(sunya)'라는 별명으로 수학책을 낼 만큼 자타 공인받은 수학자이며, 수학 도서관인 '수냐의 수학카페'를 운영 중이다. 뿐만 아니라 어른들의 유쾌한 수학 모임인 '수다수학회'를 통해 수학을 즐겁게 향유할 수 있는 길을 꾸준히 모색하고 있다. 지은이는 어렵게만 느껴지는 수학에 대한 편견을 깨뜨리고, 수학으로 재미있게 세상을 바라보기 위해 다양한 노력과 집필 활동을 하고 있다. 지은 책으로는 《수냐의 수학카페 1: 수는 죽었다 vs 수는 영원하다》 《수냐의 수학카페 2: 계산 낙오자 3인방, 수학카페를 점령하다》 《수냐의 수학 영화관》 등이 있다.