이것은 수학입니까

1+1=2라는 것을 수학적으로 어떻게 증명할 수 있을까? 왜 음수 곱하기 양수는 음수고, 음수 곱하기 음수는 양수일까? 이 책은 바로 이런 내용을 다룬다. 숫자를 세는 것의 의미, 0, 음수, 분수 그리고 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 집합 등 이 책에 나오는 수학은 초등학생 정도면 간단하게 해결하는 기초수학이다. 이렇듯 간단해 보이는 기초수학이 바로 이 책의 주제다. 하지만 너무 간단한 문제라고 쉽게 생각할 일이 아니다. 1+1=2라는 계산은 삼척동자도 할 수 있지만, 그것을 증명하는 것은 아무나 할 수 있는 게 아니기 때문이다. 더구나 자연수의 의미와 집합과 사칙연산의 논리에 대해 인류가 심오하게 사유하기 시작한 것은 19세기에 들어서다. 원시시대부터 유구한 역사가 흐른 뒤에야 가능했다는 이야기다. 지은이는 바로 이 기초수학이야말로 인류 상상력의 위대한 유산이 고스란히 담겨 있다고 말한다. 책에는 복잡한 방정식도 없고, 수학책에서 으레 만나는 계산을 하기 위해 연필과 종이도 필요하지 않다. 하지만 수 그리고 숫자로 이루어지는 사칙연산의 논리를 따라가다 보면 수학적 사유의 진수를 만날 수 있을 것이다.



■ 추천사



"벌린스키는 이 책에서 방대한 지식과 위트 그리고 그의 트레이드마크인 범접할 수 없는 글쓰기로 아메리칸 치즈만큼이나 섹시한 주제를 다루고 있다. 바로 연산 말이다. 그렇다고 걱정할 건 없다. 구구단표는 나오지 않으니까. 대신 이 책은 곱하기(아울러 더하기, 빼기, 나누기)가 무엇을 의미하는지를 다룬다. 대부분의 사람들은 전혀 생각도 못해본 차원의 수학적 사유, 하지만 '1 더하기 1은 2'처럼 중요한 사유가 가능한 논리적 토대를 다루고 있는 것이다. ……

수는 현실 세계의 근본을 형성하지만, 우리들 대부분은 이것이 의미하는 바를 한 번도 골똘히 생각해본 적이 없다. 우리는 수와 수를 가지고 하는 연산 그리고 이런 연산이 따르는 교환법칙과 같은 것을 아주 당연하게 생각한다. 카푸치노나 크루아상을 사면서 거스름돈 사기만 당하지 않는다면야 궁금해 할 이유가 없는 것이다. 이런 이유가 뭘까? 달갑지는 않지만 우리는 우리 자신이 무엇을 모르는지 알지 못하기 때문이다.

벌린스키는 이 책에서 연산의 논리적 토대를 알아야 하며, 그 가치를 재평가해야 한다고 말한다. 왜냐하면, 연산의 논리적 토대야말로 심오할 뿐만 아니라 아름다우며, 인간 상상력의 위대한 개가를 보여주고 있기 때문이다. 책은 단순히 숫자를 세는 것과 계산하는 것이 어떻게 이루어지는지를 보여준다. 이것이 바로 벌린스키가 독자들에게 주는 선물이다."

─레오나르드 믈로디노프(『위대한 설계』 공저자)



이것은 수학입니까? 계산하고 문제 푸는 것만이 수학이 아니다.

1 더하기 1은 얼마일까? -1 곱하기 -1은 얼마인가? 문제가 너무 쉽다고? 그렇다. 초등학생만 돼도 이 문제의 답을 쉽게 맞힐 수 있다. 그렇다면, 질문을 한 번 더 해보자. 1 더하기 1은 왜 2가 될까? -2 곱하기 2가 -4가 되고, -2 곱하기 -2가 4가 되는 이유는 도대체 뭘까? 이들 문제를 수학적으로 설명하고 증명할 수 있는 사람은 그리 많지 않을 것이다. 자연수, 음수, 0, 분수 그리고 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈을 가리키는 사칙연산은 우리가 너무 당연하게 생각해 거들떠보지도 않는 것들이지만 실은 인류 역사와 인간 상상력의 자취가 고스란히 남아 있다. 지은이가 이 책을 쓴 이유 그리고 초등학생도 푸는 산수 문제를 우리에게 던지는 이유는 바로 이 때문이다.



숫자를 센다는 것, 자연수, 0, 음수, 분수 그리고 사칙연산에서 보는 인류 상상력의 위대한 발자취

이 책은 수학을 계산이라고 생각하고, 복잡한 수식에 짓눌려 수학을 기피하는 사람들에게는 생소하고 선뜻 납득하기 어려운 내용을 다루고 있다. 숫자를 센다는 것의 의미, 자연수, 집합, 0, 음수, 분수 그리고 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈의 정의 등이다. 초등학생 정도면 쉽게 해결하는 이런 수학을 지은이가 다루는 이유는 뭘까? 이른바 기하학, 대수, 미적분 등 현대 수학의 위대한 성과들의 가장 기초적인 토대가 이들 문제에 있기 때문이다. 더구나 믿기지 않지만 지은이에 따르면 자연수, 음수, 집합, 덧셈 뺄셈 곱셈 나눗셈에 대해서 이토록 심오한 사유를 하게 된 게 19세기에서나 가능했다.

'하나, 둘, 많다'라는 식으로 셈을 하는 원시 부족인들의 수학적 사유에서부터, 린드 파피루스에 남아 있는 고대 필경사들의 수학, 유클리드, 알 콰리즈미, 아리스토텔레스 그리고 현대 수학의 기초를 놓은 칸토어, 데데킨트, 힐베르트, 페아노 등을 아우르는 수학적 사유의 여정에서 우리는 그동안 모르고 있던 산수와 연산의 아름답고도 심오한 논리를 볼 수 있을 것이다.



공식 암기와 계산이 아닌 수학적 사유의 진수를 만나다

기존 수학책에서는 볼 수 없었던 생소한 개념들을 다루고 있는 이 책에는 복잡한 방정식도 없고, 계산을 하기 위해 종이와 연필이 필요하지도 않다. 그저 지은이가 이끄는 대로 논리학 책을 읽어나가듯 자연수, 집합, 논리의 구조, 사칙연산의 증명, 음수 등 기초수학의 영역을 둘러보다 보면 원시적인 수학에서부터 현대 수학에 이르기까지 이어온 수학적 사유의 진수를 만날 수 있다. -1 곱하기 -1의 해답을 원하는 사람들에게는 그리 좋은 책은 될 수 없을지 모르지만, 왜 -1 곱하기 -1이 1이 되어야 하는지 그 원리와 증명에 의문을 가진 사람들에게는 더없이 좋은 책이다.

머리말



1장. 자연수는 신의 선물

수/ 필경술 / 독특한 인물/ 모든 인간의 마음속에 존재하는/ 부인, 염소, 수/ 신의 작품



2장. 수

수와 기호/ 모든 기호의 대가, 알 콰리즈미/ 자릿수 표기법



3장. 역설

집합/ 단 하나뿐인/ 집합의 역설



4장. 수학과 논리학

확실성/ 인간에게 확실한 것은 없다/ 예외 조항/ 최고의 논리학자/ 만약 그렇다면 어떻게 될까?/ 버팀목



5장. 피에르 아벨라르

냉정한 대가/ 파멸



6장. 유클리드와 페아노의 공리

수의 공리/ 2차 국제회의/ 페아노 공리/ 일 가토파르도



7장. 유클리드를 타도하라

연속/ 0에서 시작해서 1씩 더하기/ 유보된 죽음/ 유클리드를 타도하라



8장. 수학의 은유

덧셈/ 덧셈을 정의할 필요가 있을까



9장. 덧셈의 정의

내림에 의한/ 새로운 표기법/ 세 가지 조항/ 시공간 속에서/ 4 더하기 3



10장. 곱셈의 정의

곱셈/ 곱셈의 정의/ 3과 2의 곱/ 거듭제곱/ 지수의 거듭제곱



11장. 자연수 대사전

대사전/ 십진법부터



12장. 정의, 정리, 공리

재귀/ 공정한 평가/ 객관성/ 재귀 이론/ 재귀 이론은 무슨 일을 하는가?



13장. 아우구스투스 드 모르간

법칙을 찾아낸 사람들/ 19세기 영국을 대표한 수학자들/ 중립적인 영국인/ 졸업 시험을 4등으로 통과하다



14장. 다섯 가지 산술 법칙

절차를 따르는 수학/ 영향력 있는 장치



15장. 수학적 귀납법

초월적 성격의 집단/ 귀납법/ 넘어지는 도미노/ 톱니바퀴/ 정렬집합



16장. 소냐 코발레프스키

열정



17장. 덧셈에 대한 결합법칙의 증명

증명



18장. 음수의 역설

0의 반대쪽/ 어두운 쪽/ 안 됐군, 피에르/ 거리/ 빚



19장. 대칭성

뺄셈/ 깨진 대칭성/ 정수 체계/ 음수의 정체성



20장. 현대 대수학

설렘/ 대수/ 오래된 대수/ 새로운 대수/ 상승의 수단/ 데어 뇌터



21장. 환의 공리

기초수학의 핵심, 환/ 환/ 긍정의 축적/ 세부 항목이 일부 빠진 대략적인 개요



22장. 부호의 법칙

부호 언어/ 덧없는 명성/ 다른 측면



23장. 다항식의 환

고대 세계로부터/ 간접 식별/ 이중적 의미/ 공통의 이해관계/ 다항식의 환/ 항등식의 중요성/ 새로운 경계



24장. 분수의 조밀성

최후의 연산, 나눗셈/ 부분에서 전체로/ 둘을 위한 하나/ 분수가 아닌 것/ 한편으로는/ 그런 반면에/ 세상에 맞서라



25장. 항등원과 역원

수의 영역/ 하나님만이 아는 것/ 항등원과 역원/ 더 이상 증명할 게 없다/ 이야기의 끝



맺는 말



인명 및 저서명 찾아보기

데이비드 벌린스키 저자 데이비드 벌린스키(David Berlinski)는 독일에서 미국으로 건너온 유대인 작곡가이자 피아니스트인 아버지 허먼 벌린스키와 피아니스트인 어머니 시나 벌린스키 사이에서 태어났다. 프린스턴 대학에서 철학 박사학위를 받았으며, 이후 컬럼비아 대학에서 수학과 분자생물학을 연구했다. 이론 생물학, 분석철학, 수리철학을 주로 연구하고 있으며, 스탠퍼드 대학, 뉴욕 대학, 파리 대학에서 수학을 가르치고 있다. 아울러 오스트리아의 국제 응용시스템 분석 연구소와 프랑스의 고등과학연구원에서 연구원으로 있다. "마음의 기원에 대하여"를 비롯한 두 편의 글이 그해 가장 좋은 과학논문을 선정하는 The Best American Science Writing에 2002년과 2004년 실렸다. 지은 책으로는 『수학의 역사』 『악마의 계교』 『무한 공간의 왕』 『뉴턴의 선물』 등이 있다.