곱이 한눈에 보이는 기적의 멜빵곱셈 2

딱딱한 수학을 재미있는 수학으로!

교육과학기술부는 '수학교육 선진화 방안'에서 2013년부터 수학 교과서 일부 단원에 스토리텔링 형식을 도입할 것과 함께 2012년을 수학교육의 해로 선포했다. 따라서 앞으로의 수학은 공식 암기와 반복적인 문제풀이 중심의 딱딱한 기존 방식에서 벗어나 개념과 원리를 강조하고 창의적 사고력을 키우는 쪽으로 바뀐다고 한다. 그래서 교과서부터 '이야기 전달형'으로 개발해 수학의 표준으로 제시하여, 손으로 푸는 수학에서 말로 설명하는 수학으로 개념을 바꾸어 수학을 딱딱하게 생각하는 학생들에게도 재미있게 다가가도록 하겠다는 것이다.

대학입시를 위해서도 수학공부를 멀리 할 수 없고, IT강국이 수학강국이라는 점에서도 수학은 포기할 수 없는 학문이기 때문이다. 많은 학생들의 고민거리이지만 멀리 할 수 없었던 수학의 중요성이 다시금 강조되는 부분이다.

이런 수학은 어린 시절부터 수학의 중요성을 인식시키고 수학의 개념이나 원리를 이해시키는 것이 중요하다. 남보다 바르게 수의 개념을 이해시켜 수학을 재미있는 과목으로 만들어야 한다. 수학의 기초가 튼튼한 학생들은 항상 상위권을 유지한다. 수학을 잘하는 학생들은 다른 과목에서도 성적이 우수하기 때문이다. 설령 성적이 뒤처져 있어도 다른 아이들에 비해 훨씬 여유가 있다.

이런 수학에 재미를 붙여주고 창의성을 부여해주는 것이 멜빵곱셈의 원리이다. 멜빵곱셈의 원리를 이해하면 수학의 기본원리가 한눈에 들어온다. 멜빵곱셈은 단순한 곱셈의 원리를 넘어 중등과정에서 이어지는 인수분해와 다항식 곱셈의 원리를 창의적 개념으로 설명하고 있기 때문이다. 멜빵곱셈의 원리를 이해하면 수학의 차원을 넓히는 계기가 될 수 있다.



수학을 전공한 학생들이 인정하는 멜빵곱셈

하룻밤을 자고 나면 내일은 찬란한 아침 해가 떠오른다고 아무리 설명을 잘한다 한들 하루살이는 '내일'의 의미를 알지 못한다. 하루살이의 세계는 오늘에 한정되어 그들이 이해하는 세상의 차원도 오늘에 국한되어 있기 때문이다. 학생들이 가장 어려워하는 수학의 경우에도 하루살이와 같이 자기가 알고 있는 만큼만 듣고 이해하기 때문에 알고 있는 만큼만 보이고, 보지 못하는 것들은 어렵고 힘들게만 느껴지는 것이다.

19단 곱셈의 원리를 멜빵곱셈으로 풀어낸 『기적의 멜빵곱셈』에 대해서도 다양한 반응이 있었다. 기존의 곱셈과 별반 다를 게 없다며 그 중요성과 논리성을 찾아내지 못하는 경우도 더러 있었다. 그러나 멜빵곱셈이 수학을 논리적으로 생각하게 하고 숨어 있는 행간을 읽어내며 빠른 연산을 가능하게 하는 기적의 계산법이라고 생각하는 학생들이 많았다.

특히 수학의 원리를 확실히 이해하는 학생일수록 멜빵곱셈의 위력을 금방 알아챘다. 한 예로 대학교에서 물리학을 전공한 학생이 『기적의 멜빵곱셈』을 보고 그 가치를 인정하는 차원은 달랐다. 그는 2위수×2위수의 곱을 멜빵곱셈으로 하면 19단을 외울 필요가 없이 바로 곱이 보여 답을 구할 수 있음에 감탄했다고 한다. 가천대학교 공과대학에 재학 중인 학생도 기존곱셈에서와 달리 멜빵으로 곱을 하였더니 곱이 한눈에 보여 매우 효율적이라며 놀라움을 표현했다.



유레카! 큰 수의 멜빵곱셈

『기적의 멜빵곱셈 2』에서는 큰 수의 멜빵곱셈을 다루고 있다. 큰 수의 멜빵곱셈은 '3위수×2위수, 4위수×2위수, 4위수×3위수 등에서 승수의 자릿수를 옮겨가면서 곱셈을 했을 때도 곱이 같을까'라는 생각에 몰두하다 찾게 된 곱셈 방법이다. 『기적의 멜빵곱셈 2』에서 다루는 큰 수의 멜빵곱셈은 3위수×3위수, 4위수×4위수, 5위수×5위수 등의 곱셈도 바로 한 줄 곱으로 곱셈의 곱을 얻을 수 있을 뿐만 아니라, 다음과 같이 3위수×2위수, 4위수×2위수, 4위수×3위수 등에서 자릿수를 꼭 일의 자리에 맞추지 않고 피승수 자릿수의 어느 곳에나 승수의 자릿수를 옮겨도 곱셈이 가능하며 동일한 곱을 얻을 수 있다. 곱셈의 곱을 구하는 다양함을 알고 수학을 깊이 있게 연구하고 즐기는 사람이라면 신기하면서도 놀라운 곱셈법을 경험하게 될 것이다.

승수의 자릿수를 옮겨가며 곱해도 곱이 보이고, 동일한 한 줄 곱을 구할 수 있는 것은 멜빵곱셈에서만 맛볼 수 있는 신기력이며 멜빵곱셈만이 가지는 자존심이다. 수학을 멀리하는 학생일지라도 큰 수의 멜빵곱셈을 열심히 익히기 위해 노력한다면 다항식 곱셈의 곱이 거울에 비치듯 보일 것이다.



멜빵곱셈은 기존곱셈과 확연히 다르다!

왼쪽 위의 4위수×2위수의 곱셈에서 기존곱셈은 승수의 십자리와 일자리를 꼭 피승수의 십자리와 일자리에 맞춰서 승수의 개수만큼 층으로 곱셈을 해야 곱을 얻을 수 있다. 그러나 멜빵곱셈에서는 4위수×2위수 곱셈의 곱을 한 줄 곱으로 바로 구할 수 있다. 또 피승수 아래에 승수를 어느 자리에 놓아도 곱셈이 가능하다.

이와 같은 방법이 가능한 것은 기둥과 기둥 사이에 멜빵곱셈의 곱을 쓸 자리를 만들어주었기 때문이다. 왼쪽 아래의 ②와 ④처럼 피승수와 승수가 위아래 양쪽으로 있을 때를 기둥이라고 한다. 기둥과 기둥 사이인 ③ 아래에 기본 자리를 만들고 멜빵곱셈의 합을 쓴다. 그러나 ①과 ⑤의 일자리와 천자리 아래에는 승수가 없기 때문에 기둥이라고 할 수 없다. 만약 피승수 아래에 승수가 한쪽만 있을 경우는 기둥이라고 하지 않는다. 멜빵곱셈을 할 수 있는 바탕이 없기 때문이다.

또한 위의 ①과 ②를 비교하여 보자. ②는 기존곱셈과 차원이 다른 새로운 곱셈방법으로, 기존곱셈처럼 승수의 자릿수만큼 곱셈의 층을 만들지 않고도 바로 한 줄 곱으로 계산할 수 있다. ①과 ③은 승수의 자릿수를 피승수의 자릿수 어느 곳에 놓든 곱셈의 곱을 한 줄로 얻을 수 있는 멜빵곱셈보다 차원 높은 곱셈법이다. 피승수의 백자리나 천자리 아래에 승수의 십자리를 맞추어 한 줄로 곱을 구한 것이다. 큰 수의 멜빵곱셈은 승수를 피승수 아래 어느 곳에 갖다 놓고 곱셈을 해도 곱을 얻을 수 있다는 신기함이 있다.

또 ①, ②, ③을 익혀 중등생들이 다항식 곱셈을 할 때 동류항끼리 정리가 되도록 선택함으로써 다항식 곱셈의 곱이 좀 더 쉽게 보이게 할 수 있다. 멜빵곱셈을 익힌다면 중등생들이 다항식곱셈의 곱을 동류항끼리 자연스럽게 정리할 수 있다. 이처럼 다항식 곱셈에서 동류항끼리 정리만 가능하다면 학생들이 어려워하는 수학의 원리를 좀 더 쉽게 이해할 수 있을 것이다.



멜빵곱셈의 원리로 인수분해와 다항식의 문제가 술술!

사고가 굳어진 어른이나 교사는 기존곱셈을 두고 왜 멜빵곱셈을 배우냐고 반문할 수 있다. 하지만 수학의 근본 원리를 탐구하고 새로움에 도전하는 학생은 멜빵곱셈을 터득하면 즐거운 마음으로 차원 높은 복잡한 수학을 쉽게 접할 수 있을 것이다.

멜빵곱셈은 다양한 방법으로 곱을 구할 수 있기 때문에 다항식 곱셈의 곱이 한눈에 보인다. 또한 이는 동류항의 곱이 보인다는 것을 의미하므로 멜빵곱셈의 원리로 다항식 곱셈이 이루어진 과정을 한눈에 볼 수 있다. 또한 인수분해의 인수를 일부러 찾으려 하지 않아도 한눈에 보여 쉽게 인수분해를 할 수 있다. 거기에다 근의 공식을 이용하여 방정식의 해를 왜 구해야 하는지도 보이게 될 것이다.

멜빵곱셈의 원리를 이해하고 수학 문제를 해결하다 보면 수학을 하는 데 있어서 사고변환의 중요성과 필요성을 다시 한번 깨우칠 수 있을 것이다. 그리고 수학에서는 원리를 깨달아 아는 만큼 다양하고 쉬운 방법을 선택함으로써 시간을 절약하는 즐거움까지도 누릴 수 있을 것이다.

들어가면서

일러두기



제1장 3위수X3위수 멜빵곱셈

1. 받아올림이 없는 3위수X2위수 멜빵곱셈

가. 일자리를 기준으로 한 멜빵곱셈

나. 십자리를 기준으로 한 멜빵곱셈



2. 받아올림이 있는 3위수X2위수 멜빵곱셈

가. 일자리를 기준으로 한 멜빵곱셈

나. 십자리를 기준으로 한 멜빵곱셈



3. 받아올림이 없는 3위수X3위수 멜빵곱셈

4. 받아올림이 있는 3위수X3위수 멜빵곱셈



제2장 4위수X4위수 멜빵곱셈

1. 받아올림이 없는 4위수X2위수 멜빵곱셈

가. 승수의 십자리를 피승수의 십자리에 맞춘 멜빵곱셈

나. 승수의 십자리를 피승수의 백자리에 맞춘 멜빵곱셈

다. 승수의 십자리를 피승수의 천자리에 맞춘 멜빵곱셈



2. 받아올림이 있는 4위수X2위수 멜빵곱셈

가. 승수의 십자리를 피승수의 십자리에 맞춘 멜빵곱셈

나. 승수의 십자리를 피승수의 백자리에 맞춘 멜빵곱셈

다. 승수의 십자리를 피승수의 천자리에 맞춘 멜빵곱셈



3. 받아올림이 없는 4위수X3위수 멜빵곱셈

가. 승수의 십자리를 피승수의 백자리에 맞춘 멜빵곱셈

나. 승수의 십자리를 피승수의 천자리에 맞춘 멜빵곱셈



4. 받아올림이 있는 4위수X3위수 멜빵곱셈

가. 승수의 십자리를 피승수의 백자리에 맞춘 멜빵곱셈

나. 승수의 십자리를 피승수의 천자리에 맞춘 멜빵곱셈



5. 받아올림이 없는 4위수X4위수 멜빵곱셈

6. 받아올림이 있는 4위수X4위수 멜빵곱셈



제3장 5위수X5위수 멜빵곱셈

1. 받아올림이 없는 5위수X2위수 멜빵곱셈

가. 승수의 십자리를 피승수의 십자리에 맞춘 멜빵곱셈

나. 승수의 십자리를 피승수의 백자리에 맞춘 멜빵곱셈

다. 승수의 십자리를 피승수의 천자리에 맞춘 멜빵곱셈

라. 승수의 십자리를 피승수의 만자리에 맞춘 멜빵곱셈



2. 받아올림이 없는 5위수X3위수 멜빵곱셈

가. 승수의 십자리를 피승수의 백자리에 맞춘 멜빵곱셈

나. 승수의 십자리를 피승수의 천자리에 맞춘 멜빵곱셈

다. 승수의 십자리를 피승수의 만자리에 맞춘 멜빵곱셈



3. 받아올림이 없는 5위수X4위수 멜빵곱셈

가. 승수의 십자리를 피승수의 천자리에 맞춘 멜빵곱셈

나. 승수의 십자리를 피승수의 만자리에 맞춘 멜빵곱셈



4. 받아올림이 없는 5위수X5위수 멜빵곱셈

5. 받아올림이 있는 5위수X5위수 멜빵곱셈

한득수 저자 한득수는 전 광주광명초등학교 교장. 1969년부터 초등교사로 교육에 헌신하여 2012년 2월, 43년 동안 몸담았던 교직을 마감했다. 교사 초기시절부터 자청하여 시작한 수업연구로 84년 성남시 수업실기 최우수상을 수상했고, 교장이 된 후에도 "교사는 늘 수업을 통해 배우고 수업으로 검증받아야 한다."는 신념 아래 교육의 질을 높이기 위해 노력했다. 교육과학기술부장관상, 대통령상 수상 등에 이어 퇴임하면서 황조근정훈장을 받았다. 우리나라 수학 교육을 한 차원 높이기 위해 경기도 NTTP연수원 학교 연수원장을 맡아 교원들의 수학 전문성 신장에 앞장섰다. 수학의 기초인 사칙연산의 '점 덧·뺄셈'과 '점분수' 창안을 시작으로 중등학생들이 가장 어려워하는 농도, 손익계산 등에 대한 독창적인 연산법을 개발하여 지적소유권을 인정받았다. 이러한 수학에 대한 지적소유권이 19개가 있다.