수학개념 100(세상을 움직이는)

브로콜리에서 프랙털을, 빗방울에서 기하학을,
종소리에서 순열을 발견할 수 있는 흥미로운 수학 이야기!
▶ 수학을 사랑하는 작가, 로젠
이 책은 수학을 비롯한 자연과학과 글쓰기의 접점에 관심이 많았던 라파엘 로젠이 쓴 대중교양서다. 그는 샌프란시스코 과학관에 전시된 전시물들이 과학적 개념을 실질적인 방식으로 명확하게 전달하는 것에 감명 받아 과학 저술에 열성을 올리게 되었다. 사실 수학이나 과학 같은 학문적 개념은 책 속의 활자로만 존재하는 것이 아니라 현실의 구석구석에 녹아 있다. 가령, 아이들이 만들어 노는 비누 거품만 해도 그렇다. 똑같은 크기의 두 부피로 나뉜 공기를 최소의 표면적으로 가두는 가장 효율적인 방식이 쌍거품 형태라는 것이 입증되었다. 다만 우리가 그것을 눈치 채지 못하고 있을 뿐이다.
수학 개념은 우리가 숨 쉬는 공기에도, 길가의 야채 가게에도, 도로에도, 다리에도, 장난감에도, 마트에도, 버스에도, 그림에도, 음악에도, 게임에도 들어 있다. 로젠은 그것을 차근차근 알려주고 있다. 이것이 바로 수학의 힘이라고.
로젠은 수학을 사랑하는 사람이다. 그러지 않고서야 이런 말을 하기가 쉽지 않다.
“나는 수학이 우리가 살아가는 세상에서 살아 숨 쉬는 생생한 속성임을 보여주는 데서 한 발 더 나가 예쁘기도 하다는 것을 보여주고 싶다. 그렇다고 방정식이 보기 좋다거나, 더하기 기호와 빼기 기호가 서예처럼 멋지다는 얘기는 아니다. 수학 배우기는 노을 바라보기, 시 읽기, 좋아하는 밴드의 음악 듣기와 비슷하다는 뜻이다. 수학에는 발걸음을 멈추게 하는 아름다움이 깃들어 있다.”

▶ 숨어 있는 수학을 해킹하다
로젠은 우리 삶의 순간순간을, 그리고 이 세계를 구성하는 사물들을 날카로운 수학의 눈으로 해킹한다. 그리하여 누구나 한번쯤 스치듯 의문을 품었을 법한 것들을 놓치지 않고 포착하여 수학 개념으로 명쾌하게 분석한다. 예를 들면 다음과 같은 주제들이다.

“빗속에서 최대한 안 젖으려면 걸어갈까 뛰어갈까?”
“왜 내가 서 있는 마트 계산대의 줄만 안 줄어드는 걸까?”
“맨홀 뚜껑은 왜 삼각형이나 사각형이 아니고 둥글까?”
“내가 기다리는 버스는 왜 한동안 안 오다가 한꺼번에 몰려올까?”
“교통표지판은 왜 모양이 여러 가지일까?”
“종이를 연속해서 몇 번이나 접을 수 있을까?”
“넥타이 묶는 법이 무려 17만 가지가 넘는다고?”
“소셜 미디어(SNS)를 하다보면 왜 질투가 날까?”

우리가 주의를 기울이면 기울일수록 많이 발견할 수 있는 이와 같은 주제들은 수학의 관점에서 보면 수학 개념을 설명하기에 좋은 제재들이다. 우리는 흔히 수학과 아무 상관없이 살아가는 듯하지만, 사실 알고 보면 이런저런 수학의 굴레 속에서 맴돌고 있는지도 모른다. 로젠은 이런 일상의 경험을 배경으로 수학 개념을 설명하기에 더 재미있고 유쾌하다. 일단 자기 주변 세상에 숨어 있는 수학의 매력적인 개념을 배우고 나면 당신은 수학의 가치를 좀 더 잘 이해할 수 있을 것이다.

▶ 직관에 어긋나는 듯한 수학적 사고
그런가 하면 전문 수학자조차 어떻게 그럴 수 있을까 고개를 갸웃하게 만드는 문제도 있다. 너무 놀라워 설명을 듣고 난 뒤에도 사람들이 대부분 어딘가 잘못된 것이 분명하다고 느낄 정도니까. 예를 들어, 몬티 홀 문제가 그렇다. 몬티 홀은 〈협상합시다〉라는 게임쇼 진행자 이름이다.
쇼가 시작되면 진행자는 참가자에게 세 개의 문을 제시한다. 한쪽 문 뒤에는 새 차가 기다리고 있다. 나머지 두 문 뒤쪽에는 염소처럼 굳이 탐내고 싶지 않은 무엇이 있다. 진행자는 참가자에게 어느 문 뒤에 차가 있는지 고르라고 한다. 참가자가 한 문을 선택하면, 진행자는 그 문이 아닌 다른 문을 열어 염소를 보여준다. 그리고 참가자에게 선택을 바꿀 기회를 준다. 여기서 질문은 참가자가 원래의 선택을 그대로 유지해야 하느냐, 아니면 다른 문으로 갈아타야 하느냐는 것이다.
그 답은 참가자가 항상 다른 문으로 갈아타야 한다는 것이다. 게임을 시작할 때 차가 숨어 있는 문을 선택할 확률은 1/3이었다. 하지만 이 시점에서 갈아타면 확률이 두 배인 2/3로 변한다. 어떻게 그럴 수 있을까? (그 풀이는 책 속에 있다.) 가능한 순열을 생각해보면 세 가지 선택이 나오고, 문을 갈아타는 것이 자동차를 얻을 확률을 2/3로 높인다는 것을 알 수 있다. 이 결과는 직관과 완전히 어긋나지만 완벽한 참이다. 이것이 바로 수학의 힘이다.

▶ 전문 수학자조차 믿기 어려운 역설
카이사르가 브루투스의 칼에 찔려 죽는 순간 내뿜은 공기 분자를 이 시대를 사는 우리가 들이마실 확률은 얼마나 될까? 이 문제와 해답은 필라델피아 템플 대학교 수학 교수 존 앨런 파울로스의 저서 《숫자에 약한 사람들을 위한 우아한 생존 매뉴얼》에 나와 있다. 이런 기상천외한 상황 설정을 과연 수학적으로 풀 수 있을까 의심스럽겠지만, 결론을 알고 나면 깜짝 놀랄 것이다. 그 확률은 놀랍게도 99% 이상인 것으로 밝혀졌다! 정말일까? 왜 그런지 한번 들여다보자.

대기 중에 G개만큼의 분자가 존재한다고 하자. 그 분자 중 카이사르가 Z개만큼의 분자를 내뱉었다고 하자. 그럼 당신이 방금 그 분자 중 하나를 들이마셨을 확률은 Z/G다. 확률은 언제나 1 이하이기 때문에 당신이 그 분자 중 하나를 들이마시지 않았을 확률은 1-Z/G가 된다. 이제 당신이 방금 분자 세 개를 들이마셨다고 하자. 세 분자 모두 카이사르가 내뱉은 분자가 아닐 확률은 곱의 원리에 의해 (1-Z/G)3이 된다. 물론 이 원리는 어떤 수에도 적용되므로 이것을 좀 더 일반화시키면, 당신이 방금 T개의 분자를 들이마셨을 경우 그 분자들 모두 카이사르가 내뱉은 분자가 아닐 확률은 (1-Z/G)T이 된다. 따라서 당신이 카이사르가 내뱉은 공기 분자 중 적어도 하나를 들이마셨을 확률은 1?(1?Z/G)T으로 나타낼 수 있다. 파울로스는 Z와 T는 둘 다 대략 2.2×1022이고, G는 대략 1044으로 계산했기 때문에, 그 확률은 대략 99%가 나온다. 듣고도 믿을 수 없는 일이다.

▶ 자기 삶의 풍요를 위해 수학을 공부하다
이 책에 나오는 수학 개념은 위에 소개한 확률 말고도 마란고니 효과, 클라인 병, 매듭이론, 가우스곡률, 카테너리 곡선, 도박사의 오류, 튜링 테스트, 내시 균형, 공평 분할, 순회 세일즈맨의 문제, 사이트스왑, 검사의 오류, 죄수의 딜레마, 탈척도 상관관계, 갯 심각성 지수, 알갱이 대류, 쪽매맞춤, 비둘기 집 원리, 그래프이론, 4색정리, 불 대수, 생일 역설, 안식각, 피보나치 수열 등 여러 가지다. 하나같이 호기심을 자극하고 지적 탐색을 유혹하는 개념들이다. 이런 수학 개념들은 단순히 수학적 지식으로 머물지 않는다. 이를 응용하면 삶의 지혜가 한결 깊고 풍부해진다.
저자 로젠은 이런 주제들을 능수능란한 요리사가 요리를 하듯 솜씨 좋게 이야기를 끌고 나간다. 때로는 정곡을 찌르며 날카롭게, 때로는 아무렇지도 않은 듯 태연하게 말이다. 그는 수업시간에 달달 외워 풀던 시험문제가 수학의 전부가 아니라고 말한다. 우리가 수학을 하는 이유는 자기 삶을 풍요롭게 만들기 위해서여야 한다고 강조하면서.