수의 심리학과 산술 교수법

산술은 수학을 배우기 시작하는 사람들에게 매우 자연스러운 출발점이고, 특히 초등학교 수학의 기본이라는 점에서 거의 모든 사람에게 친숙한 수학 분야이다. 비단 교사가 아닐지라도 누구나 가르칠 수 있다는 확신을 갖기 쉽고 자신만의 지도 전략을 피력하는 영역이기도 하다. 그러나 산술 지식에 대한 이해가 쉽다는 사실이 산술 지도의 용이함으로 이어지는 것은 아님에 주의할 필요가 있다. 실제로 초등학교 저학년을 위한 교재 집필이나 지도 경험이 있다면 이러한 생각에 흔쾌히 동의할 것이라 짐작한다.

수학교육에서 수학학습심리학이 필요한 이유는 수학 고유의 학문적 구조, 그리고 그것을 학습하는 학생의 심리적 구조와 관련된다. 심리학적 고찰은 주어진 수학 과제를 학습자가 어떤 방식으로 사고하는지를 파악함으로써 양자가 자연스럽게 조화를 이룰 수 있는 방법을 탐색하도록 길을 안내한다. 보편적인 교과로서 산술을 지도하기 위해 바람직한 방법은 무엇일까 그에 대한 답을 얻기 위한 노력 중 하나로 McLellen & Dewey의 책 수의 심리학과 산술 교수법을 택하였다.

역자는 이 책을 접하면서, 흔히 이 책을 Dewey의 책이라고들 말하는 데 반해 책의 제1 저자가 Dewey가 아닌 공동저자 McLellan인 점이 흥미로웠다. 1969년 남일리노이대 출판부에서 발간된 서적 John Dewey : the early works 1882~1898에 따르면, McLellan은 1875~1885년에 온타리오 사범학교장이었고, 이후 교육심리 및 교육사 교수를 역임하였다. 1889년 Applied Psychology에서 '산술과 대수에 대한 학습'을 포함하였으며, 공동저자로서 Public Arithmetic과 Psychology of Number를 집필한 것으로 기록되었는데 후자가 바로 Dewey와 함께 쓴 이 번역서의 원서이다. 그런데 Applied Psychology의 초판(1889)이 McLellan의 단독 저서였고 다만 서문에 Dewey 심리학의 많은 영향을 받았다고 했었는데, 추후 판본 표지에 Dewey이 이름이 추가되었다고 한다. 더불어, 통상 연구 결과물에서 제1 저자의 역할 비중을 고려할 때, 이 책의 기본 아이디어가 주로 McLellan에서 비롯된 것이었다고 추측해봄직하다.

이 책은 수에 대한 심리학이 산술 교수법에 어떻게 적용될 수 있는지 알려주고자 하였다. 책의 제목에서 보듯이 수의 심리학이라는 이론적 측면과 산술 교수법이라는 실제적 측면을 망라하고 있다. 두 영역이 구별되지만, 실제로는 밀접하게 관련된다. 수학학습심리학에 근거한 여러 수학 교수법에서 확인되듯이, 후자는 전자를 토대로 한다. 심리학을 잘 이해해야 의미 있는 지도 방법을 도출할 수 있고, 효과적인 지도 방법을 모색하는 데 심리적 측면의 이해가 필수이다.

이 책은 총 16개 장으로 이루어진다. 1장부터 7장까지 수의 심리학을, 8장부터 산술 교수법을 다룬다. 1장은 심리학, 특히 교과 심리학이 교사에게 제공하는 가치를 다룬다. 연계적 사고와 반성이라는 도야적 가치와 전문성 신장이라는 실제적 가치이다. 과학적 심리학의 방법과 결과가 없다면 교사는 타고난 요령과 기능, 경험, 권위 있는 지도법에 의존할 수밖에 없으며, 이에 대한 적절한 선택을 위해 건전한 심리학 지식을 가져야 한다. 특히 모든 교과가 고유의 심리학적 위상과 방법을 지니므로, 합리적 산술 교수법은 수의 심리학에 근거해야 한다고 하였다. 수의 심리학을 논하는 정당성을 부여한 것이다.

2장에서는 수의 심리적 본성을 열거한다. 수는 대상이 지닌 감각적 사실이 아니라 전체와 부분, 구별하기와 관계짓기, 추상화, 그룹화, 일반화를 요소로 하는 이성적 과정임을 설명한다.

3장과 4장은 수의 기원에 관한 것이다. 수의 기원에 관련된 한계, 가치매김, 균형, 동치 등의 하위 개념들을 다루면서 결국 측정 활동에 기원을 둔다. 그리고 수 세기 활동에 포함된 추상화와 일반화를 측정의 맥락에서 살펴보고, 토지 측량을 예로 들어 분석과 종합의 과정을 설명한다. 또한, 활동의 조정으로서 측정의 세 단계(측정되지 않는 단위 사용, 측정되는 양과 동질의 단위로 측정되는 단위 사용, 동질뿐만 아니라 다른 종류의 양과 확정적 관계가 있는 단위 사용), 세기와 측정의 유사성과 차이점을 다룬다. 나아가 교육적 적용 측면에서 수를 기호 집합으로 다루는 기호 교수법과 대상의 속성으로 다루는 사물 교수법을 비판하고 측정에 의존한 합리적 방법을 주장한다.

5장에서는 수의 정의를 다루는데, 측정 맥락에서 측정 단위가 측정되는 양을 구성하기 위해 반복되는 횟수가 곧 수이다. 따라서 수는 측정 단위에 대한 측정되는 양의 비율로서 상대적 가치를 나타내며, 측정 시 부분과 횟수의 관계를 함의한다. 이를 이용하여 곱셈의 교환법칙, 등분제와 포함제의 동일성에 대한 심리학적 설명을 제공하며, 측정에 기반한 심리학적 방법과 대조되는 방법인 Grube의 고정 단위 방법을 비판한다.

6장과 7장은 수의 발달로서 산술 연산에 대한 것이다. 측정 활동으로서의 수 개념에 기초하여 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 분수 역시 측정 아이디어와 밀접하게 관련된 것으로 설명한다. 측정의 관점에서 보면 분수는 앞선 자연수 개념과 다를 바 없다. 분수는 측정 아이디어와 과정을 필수로 하며, 본질적으로 부분과 전체 만들기에 기초한다. 또한, 분수 표기법에는 수의 측정 과정인 분석과 종합(나눗셈과 곱셈)이 드러나 있다.

8장과 9장은 수 지도법에 대해 일반적인 사항을 다룬다. 5장에서 언급했던 고정 단위 방법을 최악의 방법으로 간주하며 피해야 할 교수법을 다시금 정리해준다. 그와 정반대로 자연스런 수 본능의 발달을 위한 심리적이고 합리적인 방법을 주장하는데, 물론 측정 활동을 통한 발달이다. 흔히 알려진 '모호한 전체단위확정된 전체'의 단계가 심리적 법칙에 따라 결정된 것임을 설명한다.

10장 이후는 수의 심리학을 산술 교수법에 적용한 구체적 사례를 다룬다. 앞서 수의 심리학에 대해 설명하면서 곳곳에 교육적 적용을 포함하였지만, 수의 표기, 가감승제, 약수와 배수, 분수, 소수, 백분율, 거듭제곱과 거듭제곱근 등 각 주제별로 더욱 구체적이다.

이 책에서 수의 본성은 측정이다. 따라서 수의 개념에는 단위와 횟수가 관련된다. 이 두 가지 요소에 의해 미지의 전체가 선택된 단위에 의해 측정되고 그 결과로 인해 확정적인 전체가 된다는 아이디어이다. 단위는 더 큰 양을 측정하는 도구이고, 따라서 모든 양은 그 단위의 통합체인 반면, 단위 그 자체도 하위 단위에 의해 측정된다, 즉 단위 자체가 하위 단위의 통합체가 된다는 양적 단위의 개념을 전제로 한다는 것이 고정 단위 방법과 구별되는 핵심이다. 이러한 수 개념으로부터 산술 연산, 특히 곱셈과 나눗셈 연산으로의 자연스런 발달이 있다.

자연수 도입시 고정 단위인 낱개를 이용하여 가법적으로 1씩 증가시키는 접근이 학생들에게 무리가 없는 방법이라 여기고 또한 비의 개념을 매우 어려운 것으로 간주하여 초등학교 수학의 마지막 단계에서 다루는 오늘날의 학교 수학을 고려할 때, 수의 본성을 '비'의 개념에 둔 이 책에서 말하는 심리적이고 합리적인 방법을 학교 수학에 적용하는 것이 지나치게 혁신적이라고 느껴질 수도 있다. 그러나 이 책은 산술 교수법과 관련한 생각 거리를 제공하며, 지도 경험에서 느껴보았던 여러 고민과 어려움에 대한 답을 찾는 데도 도움을 준다. 예를 들어, 자연수와 분수를 별개의 수 개념으로 가르쳐왔다면, 현실 맥락에 기반할 때 피승수와 승수가 지칭하는 의미 때문에 교환법칙을 다루는 것이 불편했던 경험이 있다면, 등분제와 포함제를 지나치게 구분하여 별도의 차시를 구성함으로써 다른 정의를 적용했던 과거의 수학 교과서를 떠올린다면, 그와 관련된 교수학적 불편함을 해소하는 데 이 책이 도움이 될 것이다.

번역 원고를 넘기기까지 긴 과정이었다. 측정의 관점에서 접근하여 수의 본성을 측정의 과정으로 간주하고자 했던 저자의 의도를 익히 알고 있었지만, 익숙하지 않은 다수의 문장 표현이나 문장 곳곳에 숨겨놓은 함축적 의미를 대할 때마다 저자는 자신의 의도를 쉽게 건네주지 않으려는 것처럼 보이기도 하였다. 저자의 의도와 생각을 훼손하지 않기 위해 가급적 원문 표현에 충실하게 번역하고자 했기 때문에, 이 번역서의 독자 역시 저자의 의도를 파악하기 위해 철저히 음미해야 하는 부분들이 있다. 책을 천천히 생각하며 읽어야 하는 이유이다. 저자의 의도와 생각을 파악하는 데 도움이 될만한 내용이나 원문의 오류 등은 역자 주로 표시하여 저자의 것과 구분하여 각주 처리하였다. 한편, 원문 편집상의 단순 오류로 파악되는 것은 별도의 각주 없이 내용에 맞게 수정하였음을 밝힌다.

이 책이 수학교육에 애착이 있는 연구자에게뿐만 아니라 학교 현장에서 산술을 지도하는 교사들에게 알찬 영감을 줄 수 있기를 기대한다. 이 번역서의 발행을 위해 애쓰신 교우사의 여러분께도 감사의 말씀을 전한다.



역자 일동

1. 심리학은 교사를 위해 무엇을 할 수 있나

2. 수의 심리적 본성

3. 수의 기원 : 수의 측정에 대한 의존성, 측정의 활동 조정에 대한 의존성

4. 수의 기원 : 요약 및 적용

5. 수 아이디어의 정의, 양상 및 요소

6. 수의 발달 : 산술 연산

7. 수의 외적 연산과 내적 연산

8. 기본적인 수 지도에 대하여 (I)

9. 기본적인 수 지도에 대하여 (II)

10. 수의 표기, 덧셈, 뺄셈

11. 곱셈과 나눗셈

12. 약수와 배수

13. 분수

14. 소수

15. 백분율과 백분율의 활용

16. 발전

James A. McLellan