지오지브라와 함께하는 이차곡선 교수·학습

이차곡선은 원뿔을 절단해서 얻을 수 있는 곡선으로 매우 흥미롭고 다양한 성질들을 내포하고 있으며, 고등학교 선택 중심 교육과정의 진로 선택 과목인 〈기하〉에서다루어지고 있다. 2015 개정 수학과 교육과정에서는 이차곡선에 대한 실용성 및 유용성과 가치를 중요시하도록 하였으며, 이차곡선이 원뿔의 절단을 통하여 얻을 수 있는 곡선임을 인식하게 하여 기하적 대상과 대수적 대상의 수학적 연결성을 강조하여지도하도록 하고 있다. 2022 개정 수학과 교육과정에서도 이차곡선과 관련하여 내용체계의 핵심 아이디어를 통하여 '원뿔을 절단하여 만든 곡선을 방정식으로 표현하는 것은 기하적 성질을 탐구하는 데 유용한 방법이다.'라고 명시하고 있다.그러나 교과서의 구성은 이차곡선이 원뿔을 절단해서 얻을 수 있는 곡선임을 이해하기 보다는 원뿔을 자른 단면이 '포물선처럼, 타원처럼, 쌍곡선처럼' 보이는 곡선의 형태를 인지하는 수준에 그치고 있다. 물론 원뿔을 자르는 평면과 원뿔의 밑면이이루는 각에 따라 포물선, 타원, 쌍곡선이 되는 원리를 이심률과 함께 세부적으로 다루고, 이차곡선의 다양한 성질을 엄밀한 증명과 함께 도입하는 것 또한 학생들의 학습 부담이 가중되기 때문에 용이치 않을 수 있다.
본고는 이차곡선에 대하여 두 가지 측면으로 나누어 구성하였다. 첫째는 원뿔의 단면이 이차곡선이 되는 원리를 GeoGebra를 이용하여 구현하는 방법과 그 원리를 수록하였다. 둘째는 GeoGebra의 자취 기능을 이용하여 포물선, 타원, 쌍곡선을 여러가지 방법으로 작도하고 각각의 성질을 다양하게 수록하였다. 이차곡선의 자취 관련내용은 상당 부분 교과서에서 다루고 있는 내용에 기반하고 있으나, 이차곡선의 성질관련 내용은 교육과정을 고려하여 구성한 내용은 아니다. 그러나 본고에 수록된 내용은 다양한 방법으로 활용이 가능할 수 있다. 학교 상황에 따라 교사가 재구성한다면수학 동아리 활동 또는 영재교육에서 충분히 활용할 수 있을 것이다.학생들의 수학에 대한 흥미와 학습 동기 유발은 수학 학습에 중요한 요소이다. GeoGebra를 활용하여 기하적이고 시각적인 교수?학습 방안을 병렬적으로 첨가하여지도하는 것은 학생들의 시각적 표상을 증진시키고 대수와 기하의 연결성을 확고히해줌으로써 대수와 기하의 다면적 이해를 촉진할 수 있다. GeoGebra를 활용하여 현실 세계를 시뮬레이션하는 활동은 학생들에게 수학의 실용성을 증대시켜 수학 외적연결성을 깨닫게 할 수 있으며 대수적으로 국한되어 있는 지도의 영역에 기하적인 요소를 가미함으로써 수학 내적 연결성을 증대시켜 학생들의 다면적 이해를 촉진함과더불어 학생 스스로 연결적 사고를 할 수 있게 도와줄 수 있다.본고는 단순히 GeoGebra를 이용하여 독자에게 이차곡선의 자취와 성질을 시각적으로 보여주는 데 그치지 않고 제작된 도구를 교수?학습에서 활용할 수 있는 방안을제시하고자 하였다.
GeoGebra의 '2차원 기하창'에서'슬라이더'와 '자취'관련 도구와 명령어를 활용하면 이차곡선의 자취와 성질을 간단하면서도 역동적으로 표현할 수 있다.필자가 각각의 이차곡선의 성질에 대하여 간략하게 제시한 〈증명〉이 최선의 방법이 아닐 수 있으며, GeoGebra를 이용하여 이차곡선의 다양한 성질을 작도하는 방법또한 필자가 작성한 방법 이외에도 다양한 방법이 존재할 것이다. 교재에서 다루어지는 모든 내용은 교사들의 접근성이 용이하도록 '한글 2022'와 'GeoGebraClassic 5'만을 사용하여 제작하였다. 또한 교사와 학생이 함께 만들어 감으로써시각적 효과를 넘어 조작적 효과를 증진시킬 수 있도록 모든 자료의 제작 방법을 구성단계별로 세부적으로 제시하였다.예비교사와 현직교사가 본고를 통하여 수학 학습 소프트웨어를 활용한 이차곡선 교수?학습의 다양성을 인식할 수 있는 계기가 되길 바라며 교수?학습 상황에서 작은보탬이 될 수 있기를 바라는 마음이다. 단 한 분의 선생님이라도 필자가 본고에 담고자 하는 마음을 이해해 주시고, 그로 인하여 단 한 명의 학생이라도 기하의 아름다움을 느낄 수 있게 된다면 행복할 것이다.

Ⅰ. GeoGebra 활용 관련 기초 사항
1. GeoGebra 초기 화면 설정 ·························································································
2. GeoGebra의 대상에 대한 설정사항 ·········································································· 2
3.'구성단계 네비게이션 바'와 '구성단계' 기능 ·················································· 5
4. 도구상자를 이용한 작도와 명령어를 이용한 작도 ··················································· 7

Ⅱ. 원뿔의 단면과 이심률
1. 원뿔의 단면 ················································································································ 11
2. 포물선: 원뿔을 자르는 평면과 원뿔의 밑면이 이루는 각이 모선과 원뿔의 밑면이 이루는 각과 같을 때 ··················································································· 15
3. 타 원: 원뿔을 자르는 평면과 원뿔의 밑면이 이루는 각이 모선과 원뿔의 밑면이 이루는 각보다 작을 때 ··············································································· 23
4. 쌍곡선: 원뿔을 자르는 평면과 원뿔의 밑면이 이루는 각이 모선과 원뿔의 밑면이 이루는 각보다 클 때 ··················································································· 30
5. 원뿔곡선의 이심률 ····································································································· 38

Ⅲ. 포물선의 자취와 성질
1. 자취를 이용한 포물선의 작도 ·················································································· 43
2. GeoGebra를 활용하여 포물선의 성질 확인하기 ··················································· 55

Ⅳ. 타원의 자취와 성질
1. 자취를 이용한 타원의 작도 ······················································································ 95
2. GeoGebra를 활용하여 타원의 성질 확인하기 ····················································· 121

Ⅴ. 쌍곡선의 자취와 성질
1. 자취를 이용한 쌍곡선의 작도 ················································································ 157
2. GeoGebra를 활용하여 쌍곡선의 성질 확인하기 ················································· 173

양성현 경희대학교 문리과대학 수학과
경희대학교 교육대학원 교육학과(수학교육)
성균관대학교 교과교육학과 수학교육학전공 교육학박사

약력
경희고등학교 교사
현 한국교육과정평가원 연구위원

논문 학회 학회지 게재년도
GeoGebra를 활용한 역동적인 시각적 표상에 기반한
이차곡선 지도 방안
대한수학교육학회 학교수학 2011
GeoGebra의 구성단계 기능을 활용한 고등학교
수학 영재 문제해결 과정의 창의성 평가 사례 연구
한국영재학회 영재교육연구 2014
GeoGebra 활용 문항출제 연수를 통한
평가 문항 제작 사례 연구
한국수학교육학회 수학교육논문집 2015
GeoGebra를 활용한 각등변형습유의 일반화 한국수학사학회 한국수학사학회지 2016
GeoGebra를 활용한 연립이차방정식 교수학습 방안 연구 영남수학회 영남수학회지 2021
GeoGebra의 네비게이션 바와 구성 단계 기능을 활용한
과정 중심 평가 가능성 탐색
대한수학교육학회 수학교육학연구 2023

수상 경력
제3회 교육정보화 연구대회(국무총리상 표창)
- GeoGebra를 활용한 기하와 대수의 연결성에 관한 연구
제11회 교실수업개선 실천사례 연구발표대회(서울시교육감 표창)
- GeoGebra를 활용한 수학에 대한 자신감 찾기 프로젝트