자연과 인간의 수학

CHAPTER 01 | 서론 : 수학이란 무엇인가
1.1 수학적 대상들은 존재하는가 (002)

1.2 만물의 존재 양식으로서의 수학 (007)

1.3 인간의 사유 방식으로서의 수학 (015)

1.4 수학을 탐구하는 목적 (019)

1.5 위대한 수학자들 (027)

1.6 생각해 볼 문제들 (030)

CHAPTER 02 | 학문적 수학 이전의 수학
2.1 수학적 본능 (034)

2.2 수를 세다 (036)

2.3 숫자의 등장 (038)

2.4 산술과 기하의 태동 (041)

2.5 한계점과 시사점 (044)

2.6 생각해 볼 문제들 (047)

CHAPTER 03 | 논증 수학의 개화
3.1 문화적 배경 (052)

3.2 밀레토스의 자연철학 (053)

3.3 피타고라스 학파 (055)

3.4 무한의 문제 (059)

3.5 플라톤 (063)

3.6 아리스토텔레스 (065)

3.7 헬레니즘 시대와 그 이후 (067)

3.8 유클리드의 원론(Elements) (068)

3.9 고대 그리스 수학의 의의와 과학에의 응용 (072)

3.10 생각해 볼 문제들 (076)

CHAPTER 04 | 과학혁명 : 수학, 과학, 종교의 삼중주
4.1 수학과 과학의 암흑기(중세) (080)

4.2 르네상스와 종교개혁 (081)

4.3 천문학의 혁명 (082)

4.4 역학의 혁명 (086)

4.5 과학혁명에서 배우는 교훈들 (093)

4.6 생각해 볼 문제들 (103)

CHAPTER 05 | 수 체계와 미적분학의 엄밀화
5.1 19세기 전반 수학의 상황 (110)

5.2 음수의 정당화 (115)

5.3 복소수(複素數, complex number)의 발견 (118)

5.4 실수를 정의하다 (121)

5.5 미적분학의 엄밀화 (123)

5.6 자연수의 공리화 (125)

5.7 생각해 볼 문제들 (130)

CHAPTER 06 | 수학, 낙원의 문턱에 서다
6.1 공리화와 엄밀화 (134)

6.2 무한의 신세계가 열리다 (135)

6.3 기수(基數, Cardinal number) (140)

6.4 서수(序數, Ordinal number) (142)

6.5 지어낸 무한 vs 참된 무한 (144)

6.6 물리적 무한 (148)

6.7 절대적 무한 (152)

6.8 유한한 공간 내에 내재된 무한 (153)

6.9 미술로 표현된 무한 (155)

6.10 생각해 볼 문제들 (158)

CHAPTER 07 | 수학과 이성의 위기
7.1 논리적 역설들 (162)

7.2 의미론적 역설들 (163)

7.3 미봉책인 해결책들 (165)

7.4 공리적 집합론 (166)

7.5 ZFC 공리계 (169)

7.6 선택 공리에 대한 논란 (172)

7.7 연속체 가설 (174)

7.8 잠재적 모순과의 동거(?) (175)

7.9 생각해 볼 문제들 (177)

CHAPTER 08 | 논리, 직관, 형식
8.1 논리주의(Logicism) (180)

8.2 Principia Mathematica(PM) (182)

8.3 논리주의에 대한 비판들 (185)

8.4 직관주의(Intuitionism) (187)

8.5 직관주의에 대한 비판들 (196)

8.6 직관을 중시한 학자들 (199)

8.7 직관적 사고의 특징 (202)

8.8 형식주의(Formalism) (208)

8.9 형식주의에 대한 비판 (210)

8.10 대논쟁에 대한 철학적 해석 및 그 이후 (211)

8.11 생각해 볼 문제들 (215)

CHAPTER 09 | 괴델의 불완전성 정리
9.1 형식문의 G?del numbering (219)

9.2 메타수학의 산술화 (220)

9.3 제1 불완전성 정리 (221)

9.4 제2 불완전성 정리의 증명 (223)

9.5 불완전성 정리의 함의들 (224)

9.6 생각해 볼 문제들 (230)

CHAPTER 10 | 알고리즘과 튜링 기계
10.1 결정 문제(Entscheidungsproblem) (235)

10.2 Turing machine (236)

10.3 튜링 기계의 정지 문제(Halting problem) (239)

10.4 알고리즘을 뛰어넘는 인간 사고 (242)

10.5 결정 문제와 제1 불완전성 정리 (244)

10.6 결정 불가 문제들의 예 (245)

10.7 계산 가능한 수 vs 측정 가능한 수 (246)

10.8 P vs NP (249)

10.9 양자 컴퓨터 (254)

10.10 생각해 볼 문제들 (256)

CHAPTER 11 | 생각하는 기계의 등장
11.1 기계가 사고할 수 있는가 (260)

11.2 인공 신경망(Artificial Neural Network) (264)

11.3 인공지능의 성과와 전망 (271)

11.4 인공지능의(AI-generated) 수학과 과학 (279)

11.5 인공지능과 인간 (284)

11.6 생각해 볼 문제들 (295)

에필로그 (297)

부록 (299)

A.1 수학적 실재론과 사회적 구성주의는 공존 가능한가? (300)

A.2 통약 불가능성(Incommensurability) (304)

A.3 반증 가능성 (305)

A.4 포스트모더니즘(Postmodernism) (307)

A.5 제1 원리(First principle) (308)

A.6 대칭(Symmetry) (309)

A.7 $|R|=2^{\aleph_0}$의 증명 (311)

A.8 동치 관계(Equivalence Relation) (312)

A.9 바나흐-타르스키 역설의 2차원 version (313)

A.10 중간값 정리 (314)

A.11 얽힘(Entanglement) (316)

A.12 게임 이론 (317)

A.13 세계관 (318)

문제 힌트 (319)

참고문헌 (329)

찾아보기 (335)

성찬영