원론 1

머리말

고대 그리스의 위대한 수학자 유클리드가 저술한 《원론(Στοιχε?α)》은 인류 역사상 가장 중요한 수학 교과서 중 하나이자 논리학의 정수입니다. 이 책은 기하학이라는 학문을 하나의 공리적 체계로 정립하여, 몇 개의 공리(공준과 일반 이치)로부터 모든 기하학적 명제를 논리적으로 연역하는 방법을 보여줍니다. 이는 서구 지성사의 근간을 이루는 논리적 사고의 틀을 제시하며, 이후의 모든 과학적 탐구에 지대한 영향을 미쳤습니다.
이 번역본은 T. L. Heath의 영문 해설본 《The Thirteen Books of Euclid's Elements》을 바탕으로 하여, 《원론》제1권, 제2권, 제3권을 한데 묶은 것입니다. 이 세 권은 평면 기하학의 가장 근본적인 토대를 다루며, 유클리드 기하학의 전체 구조를 떠받치는 주춧돌과 같습니다.
제1권은 기하학의 모든 논리적 출발점입니다. 정의, 공준, 일반 이치를 제시하고, 이를 바탕으로 삼각형의 합동, 평행선의 성질, 피타고라스 정리 등 기초적인 평면 도형의 성질을 엄밀하게 증명합니다.
우리는 제1권을 통해 유클리드가 제시한 5개 공준과 5개 일반 이치를 바탕으로, 어떻게 단순한 진술들이 복잡한 증명으로 확장되는지를 목격하게 될 것입니다. 제2권은 오늘날 기하학적 대수학이라 불리는 내용을 담고 있으며, 선분의 길이를 이용해 넓이(직사각형)에 관한 정리들을 증명하고, 2차 방정식의 해법을 기하학적으로 다룹니다. 이는 고대 그리스 수학의 독특한 접근 방식을 보여줍니다. 제3권은 원 관련된 정리들을 다룹니다. 현, 접선, 각, 원주각 등 원의 기본적인 성질과 그 관계를 체계적으로 증명하며, 원이 평면 기하학에서 차지하는 중요한 역할을 확립합니다.

이 번역본은 원본의 핵심을 충실히 전달하면서도, 독자들의 이해를 돕기 위해 다음과 같은 과정을 거쳤습니다.
1 시각적 이해를 위한 그림 추가: 원본의 모든 문장이 나타내는 추론 과정을 평면 위에 기하학적 그림으로 나타내어, 독자들이 문장만으로는 이해하기 어려울 수 있는 논리적 전개를 한눈에 파악할 수 있도록 했습니다.
2 용어의 명확화: 원본에서는 정의되지 않았지만 실제 내용에서 많이 사용되는 원의 '원주', '반지름', '현', '호'와 같은 용어들을 정의 부분에 명확하게 추가하여, 독자들이 혼동 없이 내용을 따라갈 수 있도록 했습니다.
3 양(量)의 개념 명확화: 원본에서는 '보다 크다', '와 같다', '보다 작다'와 같은 일반적인 비교 표현이 사용되었지만, 이 번역본에서는 기하학적 양의 개념을 명확히 하기 위해 다음과 같이 번역을 통일했습니다.
ㆍ 선의 길이 비교에서는 '보다 길다', '와 길이가 같다', '보다 짧다'라고 번역했습니다.
ㆍ 삼각형과 같은 평면도형의 넓이 비교에서는 '보다 넓다',
'와 넓이가 같다', '보다 좁다'라고 번역했습니다.
이 책을 통해 독자 여러분이 유클리드의 정신을 느껴보고, 논리적 사고와 증명의 즐거움을 경험하기를 바랍니다. 《원론》은 단순히 수학을 배우는 책이 아니라, 어떻게 생각하고 어떻게 논리를 구성해야하는지를 가르쳐주는 위대한 교사입니다. 이제, 기하학의 세계로 첫 발을 내딛어 봅시다.

가좌캠퍼스에서 옮긴이
2025년 10월

옮긴이 머리말 iii
차 례 v
제1권 평면 기하학의 기초 1
1.1 정의 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
정의 1.1: 점 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
정의 1.2: 선 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
정의 1.3: 선의 양 끝 . . . . . . . . . . . . . . . 2
정의 1.4: 선분 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
정의 1.5: 면 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
정의 1.6: 면의 끝 . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
정의 1.7: 평면 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
정의 1.8: 평면 각 . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
정의 1.9: 선분 각 . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
정의 1.10: 직각과 수선 . . . . . . . . . . . . . . 5
정의 1.11: 둔각 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
정의 1.12: 예각 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
정의 1.13: 경계 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
정의 1.14: 도형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
정의 1.15: 원, 원주, 반지름 . . . . . . . . . . . 6
정의 1.16: 원의 중심 . . . . . . . . . . . . . . . 7
정의 1.17: 원의 지름과 현 . . . . . . . . . . . . 7
정의 1.18: 반원과 반원의 중심 . . . . . . . . . 7
vi 차 례
정의 1.19: 선분도형, 삼별형 도형, 사변형 도형,
다변형 도형 . . . . . . . . . . . . . . . . 8
정의 1.20: 정삼각형, 이등변삼각형, 부등변삼각형 8
정의 1.21: 직각삼각형, 둔각삼각형, 예각삼각형 9
정의 1.22: 정사각형, 직사각형, 마름모, 평행사
변형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
정의 1.23: 평행 선 . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 공준 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
공준 1: 선분 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
공준 2: 선분의 연장 . . . . . . . . . . . . . . . 11
공준 3: 원 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
공준 4: 직각 크기의 동일성 . . . . . . . . . . . 12
공준 5: 두 선분 연장선의 만남 . . . . . . . . . 12
1.3 일반 이치 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
일반 이치 1: 같은 크기에 대한 추이 법칙 . . . . 13
일반 이치 2: 크기와 합 . . . . . . . . . . . . . . 13
일반 이치 3: 크기와 차 . . . . . . . . . . . . . . 13
일반 이치 4: 포개짐과 크기 . . . . . . . . . . . 13
일반 이치 5: 부분과 전체의 크기 . . . . . . . . 13
1.4 정리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
정리 1.1: (작도) 주어진 선분이 한 변이 되는
정삼각형 . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
정리 1.2: (작도) 주어진 선분과 길이가 같고 주
어진 점이 끝점이 되는 선분 . . . . . . . 17
정리 1.3: (작도) 주어진 긴 선분을 주어진 짧은
선분의 길이만큼 절단하기 . . . . . . . . 22
정리 1.4: 두 삼각형에서 대응되는 두 옆변이 각
각 길이가 같고 대응되는 끼인각이 크기
가 같은 두 삼각형의 포개짐 . . . . . . . 25
차 례 vii
정리 1.5: 이등변삼각형의 두 밑각 크기의 동일성 27
정리 1.6: 삼각형에서 크기가 같은 두 각의 마주
보는 두 변의 길이 동일성 . . . . . . . . 30
정리 1.7: 세 변의 길이에 대한 삼각형의 포개짐 32
정리 1.8: 두 삼각형에서 대응되는 두 변이 각각
길이가 같고 대응되는 밑변이 길이가 같
을 때 대응되는 끼인각의 크기 동일성 . . 34
정리 1.9: (작도) 선분 각의 이등분 . . . . . . . 36
정리 1.10: (작도) 선분의 이등분 . . . . . . . . 38
정리 1.11: (작도) 선분의 수선 . . . . . . . . . . 40
정리 1.12: (작도) 연장선과 그 위에 있는 않는
점에 대하여, 그 점이 끝점인 연장선의 수선 42
정리 1.13: 선분에 세워진 다른 선분이 만드는
두 이웃각 . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
정리 1.14: 한 끝점을 공유한 두 선분이 하나의
선분에 놓이기 위한 충분조건 . . . . . . 46
정리 1.15: 두 선분이 만드는 맞꼭지각의 크기
동일성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
따름정리 1.1: 교차하는 두 선분이 만드는 네 각
의 크기 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
정리 1.16: 삼각형의 외각과 마주 보는 변에 접
한 내각의 크기 비교 . . . . . . . . . . . 50
정리 1.17: 삼각형의 두 내각의 크기 . . . . . . . 52
정리 1.18: 삼각형의 두 내각에서 더 긴 변에 마
주 보는 내각 . . . . . . . . . . . . . . . 54
정리 1.19: 삼각형 두 옆변에서 더 큰 내각에 마
주 보는 옆변 . . . . . . . . . . . . . . . 56
정리 1.20: 삼각형의 두 변과 나머지 변의 길이
비교 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
viii 차 례
정리 1.21: 삼각형에서 밑변과 내부의 점으로 만
들어지는 삼각형의 성질 . . . . . . . . . 60
정리 1.22: (작도) 주어진 세 선분과 길이가 같
은 세 변의 삼각형 . . . . . . . . . . . . 63
정리 1.23: (작도) 주어진 선분 각과 크기가 같
은 선분 각 . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
정리 1.24: 두 옆변이 대응하는 두 옆변과 각각
길이가 같은 두 삼각형에서 끼인각 크기
에 대한 밑변의 길이 . . . . . . . . . . . 69
정리 1.25: 두 옆변이 대응하는 두 옆변과 각각
길이가 같은 두 삼각형에서 밑변의 길이
에 대한 끼인각 크기 . . . . . . . . . . . 72
정리 1.26: 두 각과 한 변에 대한 삼각형의 합동성 74
정리 1.27: 두 선분이 평행하기 위한 엇각에 대
한 충분조건 . . . . . . . . . . . . . . . . 78
정리 1.28: 두 선분이 평행하기 위한 외각과 내
각에 대한 충분조건 . . . . . . . . . . . . 80
정리 1.29: 두 선분이 평행하기 위한 엇각과 외
각과 내각에 대한 필요조건 . . . . . . . . 82
정리 1.30: 두 선분이 평행하기 위한 충분조건 . 84
정리 1.31: (작도) 주어진 점을 지나고 주어진
선분과 평행한 선분 . . . . . . . . . . . . 86
정리 1.32: 삼각형의 세 내각의 크기 . . . . . . . 88
정리 1.33: 길이가 같은 두 평행 선분이 만드는
평행사변형 . . . . . . . . . . . . . . . . 90
정리 1.34: 평행사변형의 성질 . . . . . . . . . . 92
정리 1.35: 밑변이 공통이고 밑변과 위변이 평
행한 두 선분에 놓인 평행사변형들의 넓이 95
차 례 ix
정리 1.36: 밑변들이 길이가 같고 밑변과 위변
이 평행한 두 선분에 놓인 평행사변형들
의 넓이 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
정리 1.37: 밑변이 같고 밑변과 그 마주 보는 꼭
짓점이 평행한 두 선분에 놓인 삼각형들
의 넓이 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
정리 1.38: 밑변의 길이가 같고 밑변과 그 마주
보는 꼭짓점이 평행한 두 선분에 놓인 삼
각형들의 넓이 . . . . . . . . . . . . . . . 101
정리 1.39: 밑변이 같고 밑변에 대해 같은 쪽에
놓이며 넓이가 같은 삼각형 . . . . . . . . 103
정리 1.40: 밑변들이 길이가 같고 같은 선분에
놓이며 밑변에 대해 같은 쪽에 놓인 넓이
가 같은 삼각형들 . . . . . . . . . . . . . 105
정리 1.41: 밑변이 같고 평행한 두 선분에 놓인
평행사변형과 삼각형 . . . . . . . . . . . 107
정리 1.42: (작도) 한 내각이 주어진 선분 각과
크기가 같고 주어진 삼각형과 넓이가 같
은 평행사변형 . . . . . . . . . . . . . . . 109
정리 1.43: 평행사변형의 대각선과 부분 평행사
변형들 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
정리 1.44: (작도) 주어진 선분을 한 변으로 하
고 한 내각이 주어진 각과 크기가 같고
주어진 삼각형과 넓이가 같은 평행사변형 114
정리 1.45: (작도) 한 내각이 주어진 각과 크기
가 같고 주어진 다각형과 넓이가 같은 평
행사변형 . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
정리 1.46: (작도) 주어진 선분이 한 변이 되는
정사각형 . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
x 차 례
정리 1.47: (피타고라스의 정리) 직각삼각형에
서 빗변에 세워진 정사각형과 다른 두 변
에 세워진 두 정사각형의 넓이 동일성 . . 127
정리 1.48: 한 변에 세워진 정사각형이 다른 두
변에 세워진 두 정사각형과 넓이가 같은
삼각형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
제2권 도형의 넓이: 기하학적 대수학 137
2.1 정의 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
정의 2.1: 두 변이 가로세로인 직사각형 . . . . . 138
정의 2.2: 그노몬 . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
2.2 정리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
정리 2.1: 한 변의 유한 절단을 이용한 직사각형
의 분해 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
정리 2.2: 한 변의 절단을 이용한 정사각형의 분해142
정리 2.3: 한 변의 절단을 이용한 직사각형의 직
사각형과 정사각형으로의 분해 . . . . . . 144
정리 2.4: 두 양의 실수의 합의 제곱에 대한 공
식의 기하적 표현 . . . . . . . . . . . . . 146
정리 2.5: 두 양수의 합과 차의 곱에 대한 공식의
기하적 표현 . . . . . . . . . . . . . . . . 151
정리 2.6: 두 양수의 합과 차의 곱에 대한 공식의
기하적 표현 . . . . . . . . . . . . . . . . 154
정리 2.7: 두 양의 실수의 차의 제곱에 대한 공
식의 기하적 표현 . . . . . . . . . . . . . 157
정리 2.8: 두 양의 실수의 합의 제곱과 차의 제
곱의 비교에 대한 기하적 표현 . . . . . . 161
정리 2.9: 두 양의 실수의 합의 제곱과 차의 제
곱의 합에 대한 공식의 기하적 표현 . . . 167
차 례 xi
정리 2.10: 두 양의 실수의 합의 제곱과 차의 제
곱의 합에 대한 공식의 기하적 표현 . . . 174
정리 2.11: (작도) 특정 이차방정식의 기하적 풀이183
정리 2.12: 둔각삼각형에 대한 피타고라스 정리
의 일반화 . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
정리 2.13: 예각삼각형대한 피타고라스 정리의
일반화 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
정리 2.14: (작도) 주어진 다각형과 넓이가 같은
정사각형 . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
제3권 원 201
3.1 정의 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
정의 3.1: 넓이가 같은 두 원 . . . . . . . . . . . 202
정의 3.2: 원에 접하는 선분 . . . . . . . . . . . 202
정의 3.3: 접하는 두 원 . . . . . . . . . . . . . . 203
정의 3.4: 원의 중심에서 같은 거리에 있는 두 현 203
정의 3.5: 원의 중심에서 더 멀리 있는 현 . . . . 203
정의 3.6: 활꼴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
정의 3.7: 활꼴의 각 . . . . . . . . . . . . . . . 204
정의 3.8: 활꼴각 . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
정의 3.9: 윈에서 호에 놓인 각 . . . . . . . . . . 205
정의 3.10: 부채꼴 . . . . . . . . . . . . . . . . 205
정의 3.11: 닮은 활꼴 . . . . . . . . . . . . . . . 206
3.2 정리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
정리 3.1: (작도) 원의 중심 . . . . . . . . . . . . 207
따름정리 3.1: 원에서 현이 지름이기 위한 충분
조건 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
정리 3.2: 원에서 현의 내부성 . . . . . . . . . . 211
xii 차 례
정리 3.3: 원에서 지름에 의한 현의 이등분과 현
의 직교성 . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
정리 3.4: 원에서 중심을 지나지 않는 두 현이
교차할 때 동시 이등분의 불가능성 . . . 219
정리 3.5: 만나면서 서로 두 조각으로 나뉘는 두
원의 중심 . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
정리 3.6: 접하는 두 원의 중심 . . . . . . . . . . 224
정리 3.7: 원에서 중심이 아닌 안점에서 원주의
점까지의 선분 . . . . . . . . . . . . . . . 226
정리 3.8: 원에서 바깥점에서 원주의 점까지의
선분 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
정리 3.9: 원에서 안점이 원의 중심이기 위한 충
분조건 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
정리 3.10: 두 원의 교차점의 개수 . . . . . . . . 242
정리 3.11: 한 원이 안에서 다른 원과 접할 때
접점과 중심들의 일직선성 . . . . . . . . 244
정리 3.12: 한 원이 바깥에서 다른 원과 접할 때
접점과 중심들의 일직선성 . . . . . . . . 246
정리 3.13: 접하는 두 원의 접점의 개수 . . . . . 248
정리 3.14: 원에서 현의 길이와 중심까지의 거리 250
정리 3.15: 원에서 현들의 길이 . . . . . . . . . 254
정리 3.16: 원에서 지름의 끝점에서 시작되는 지
름의 수선 . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
따름정리 3.2: 원에서 지름의 끝점에서 시작되
는 지름의 수선의 접선 성질 . . . . . . . 261
정리 3.17: (작도) 주어진 점에서 주어진 원에
접하는 선분 . . . . . . . . . . . . . . . . 262
정리 3.18: 선분이 원에 접할 때, 접점과 중심을
연결하는 반지름과 접선의 직교성 . . . . 266
차 례 xiii
정리 3.19: 선분이 원에 접할 때, 접점에서 접선
의 수선과 주어진 원의 중심 . . . . . . . 268
정리 3.20: 원에서 호 위에 놓인 중심각은 원주
각의 두 배 . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
정리 3.21: 동일한 활꼴의 활꼴각 크기 동일성 . 273
정리 3.22: 원에 내접하는 사각형의 마주 보는
두 각의 크기 . . . . . . . . . . . . . . . 275
정리 3.23: 선분 위의 닮은 활꼴의 유일성 . . . . 278
정리 3.24: 길이가 같은 선분 위의 닮은 활꼴들
의 넓이 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
정리 3.25: (작도) 주어진 활꼴에 대한 전체 원 . 281
정리 3.26: 원에서 크기가 같은 각들의 밑에 놓
인 호의 길이 동일성 . . . . . . . . . . . 286
정리 3.27: 원에서 길이가 같은 호들에 놓인 각
의 크기 동일성 . . . . . . . . . . . . . . 288
정리 3.28: 원에서 길이가 같은 현에 잘린 호들
의 길이 동일성 . . . . . . . . . . . . . . 290
정리 3.29: 넓이가 같은 원에서 길이가 같은 호
들을 마주 보는 현들의 길이 동일성 . . . 293
정리 3.30: (작도) 호의 이등분 . . . . . . . . . . 295
정리 3.31: 활꼴의 활꼴각과 활꼴의 각의 크기 . 297
정리 3.32: 접점에서 원의 접선과 현이 이루는
각과 반대쪽 활꼴의 활꼭각의 크기 동일성301
정리 3.33: (작도) 주어진 각과 크기가 같은 활
꼴각이 있는 주어진 선분에 놓인 활꼴 . . 304
정리 3.34: (작도) 원에서 주어진 각과 크기가
같은 활꼴각이 있는 활꼴 . . . . . . . . . 313
정리 3.35: 원에서 두 현이 교차할 때 현의 두
부분의 길이 곱의 동일성 . . . . . . . . . 315
xiv 차 례
정리 3.36: 원의 바깥점에서 출발한 선분이 원
과 두 점에서 만날 때 두 점까지의 거리
곱의 동일성 . . . . . . . . . . . . . . . . 320
정리 3.37: 원의 바깥점에서 출발한 선분이 원
과 두 점에서 만날 때 두 점까지의 거리
곱을 이용한 접선의 판정법 . . . . . . . . 328
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