STEIN 복소해석학(STEM@COOKBOOK)

지은이 머리말
미리보기
감수자 머리말

서론

1장 복소해석학의 기초
1 복소수와 복소평면
1.1 기초 성질
1.2 수렴
1.3 복소평면 속 집합
2 복소평면에서의 함수
2.1 연속함수
2.2 정칙함수
2.3 멱급수
3 곡선을 따른 적분
연습문제

2장 코시 정리와 그 응용
1 구르사 정리
2 원판에서 원시함수의 국소적 존재성과 코시 정리
3 몇 가지 적분 계산
4 코시 적분 공식
5 추가적인 응용
5.1 모레라 정리
5.2 정칙함수열
5.3 적분으로 정의된 복소해석적 함수
5.4 슈바르츠 반사 원리
5.5 룽게 근사정리
연습문제
심화문제

3장 유리형함수와 로그함수
1 영점과 극
2 유수 공식
2.1 몇 가지 예
3 특이점과 유리형함수
4 편각 원리와 응용
5 연속변형과 단순연결 영역
6 복소 로그함수
7 푸리에 급수와 조화함수
연습문제
심화문제

4장 푸리에 변환
1 함수 모임 F
2 F에서 푸리에 변환의 작용
3 페일리-위너 정리
연습문제
심화문제

5장 전해석함수
1 옌센 공식
2 증가지수가 유한한 함수
3 무한곱
3.1 일반적인 사실
3.2 예제 : 사인 함수에 대한 곱 공식
4 바이어슈트라스 무한곱
5 아다마르 인수분해 정리
연습문제
심화문제

6장 감마함수와 제타함수
1 감마함수
1.1 해석적 연속
1.2 Γ의 추가 성질
2 제타함수
2.1 함수방정식과 해석적 연속
연습문제
심화문제

7장 제타함수와 소수정리
1 제타함수의 영점
1.1 1/ζ (s)의 추정
2 함수 ψ와 ψ1
2.1 ψ1에 대한 점근식의 증명
3 이중급수에 대한 참고사항
연습문제
심화문제

8장 등각사상
1 등각동형과 구체적인 예
1.1 원판과 상반평면
1.2 또 다른 예
1.3 띠에서의 디리클레 문제
2 슈바르츠 보조정리 : 원판과 상반평면의 자기동형사상
2.1 원판의 자기동형사상
2.2 상반평면의 자기동형사상
3 리만 사상 정리
3.1 리만 사상 정리의 서술과 필요조건
3.2 몽텔 정리
3.3 리만 사상 정리의 증명
4 다각형으로의 등각사상
4.1 몇 가지 예
4.2 슈바르츠-크리스토펠 적분
4.3 경계에서의 행동
4.4 사상을 나타내는 식
4.5 다시 타원적분으로
연습문제
심화문제

9장 타원함수 입문
1 타원함수
1.1 리우빌 정리
1.2 바이어슈트라스 p 함수
2 타원함수의 모듈러성과 아이젠슈타인 급수
2.1 아이젠슈타인 급수
2.2 아이젠슈타인 급수와 약수함수
연습문제
심화문제

10장 세타함수의 응용
1 야코비 세타함수에 대한 곱 공식
1.1 변환법칙 더보기
2 생성함수
3 제곱수의 합에 대한 정리
3.1 두 제곱수 정리
3.2 네 제곱수 정리
연습문제
심화문제

부록 A 점근적 추정
1 베셀 함수
2 라플라스 방법 : 스털링 공식
3 에어리 함수
4 분할함수
심화문제

부록 B 단순연결성과 조르당 곡선 정리
1 단순연결성과 동치인 명제
2 조르당 곡선 정리
2.1 일반적인 코시 정리의 증명

장별 참고사항
참고문헌
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Elias M. Stein 엘리아스 M. 스타인 교수는 미국의 수학자로 조화해석학 분야의 선구자이자 대가로 꼽힌다. 그간의 공로를 인정받아 1999년에 세계 3대 수학상 중 하나인 울프상(Wolf Prize)을 수상했으며, 2001년에 국립 과학 훈장(National Medal of Science)을 받았다. 1955년 시카고 대학교에서 박사 학위를 취득했으며, 메사추세츠 공과대학교(MIT)와 시카고 대학교를 거쳐 프린스턴 대학교 수학과 교수로 재직했다. 2012년 명예교수로 은퇴하기 전까지 학부 수학을 위해 《프린스턴 해석학 시리즈》를 공동집필하는 등 교육에 힘을 쏟았다. 제자들도 마찬가지로 조화해석학 분야를 기반으로 다양한 업적을 이루었는데, 특히 찰스 페퍼먼(Charles Fefferman)이나 테렌스 타오(Terrence Tao)가 필즈상을 수상하는 영예를 누렸다.