STEIN 푸리에 해석학(STEM@CookBook)

지은이 머리말
미리보기
감수자 머리말

서론

1장 푸리에 해석학의 기원
1 현의 진동
1.1 파동 방정식 유도
1.2 파동 방정식의 해
1.3 예 : 퉁긴 현
2 열 방정식
2.1 열 방정식 유도
2.2 원판에서 안정상태의 열 방정식
연습문제
심화문제

2장 푸리에 급수의 기본 성질
1 예와 문제의 명확화
1.1 주요 정의와 몇 가지 예
2 푸리에 급수의 유일성
3 합성곱
4 좋은 핵
5 체사로 합 및 아벨 합 가능성 : 푸리에 급수에 응용
5.1 체사로 평균과 체사로 합
5.2 페제르 정리
5.3 아벨 평균과 아벨 합
5.4 푸아송 핵과 단위원판에서의 디리클레 문제
연습문제
심화문제

3장 푸리에 급수의 수렴성
1 푸리에 급수의 평균제곱수렴성
1.1 벡터공간과 내적
1.2 평균제곱수렴성의 증명
2 점별수렴으로 돌아가기
2.1 국소적 결과
2.2 푸리에 급수가 발산하는 연속함수
연습문제
심화문제

4장 푸리에 급수의 응용
1 등주부등식
2 바일 등분포정리
3 연속이지만 모든 점에서 미분불가능한 함수
4 원 위에서의 열 방정식
연습문제
심화문제

5장 R에서의 푸리에 변환
1 푸리에 변환에 대한 기초 이론
1.1 실수에서 정의된 함수의 적분
1.2 푸리에 변환의 정의
1.3 슈바르츠 공간
1.4 S에서의 푸리에 변환
1.5 푸리에 역변환
1.6 프란셰렐 공식
1.7 적절히 감소하는 함수로의 확장
1.8 바이어슈트라스 근사 정리
2 편미분방정식에서의 응용
2.1 실수에서의 시간 종속 열 방정식
2.2 상반평면에서의 안정상태 열 방정식
3 푸아송 합 공식
3.1 세타함수와 제타함수
3.2 열 핵
3.3 푸아송 핵
4 하이젠베르크 불확정성 원리
연습문제
심화문제

6장 R^d에서의 푸리에 변환
1 기초 지식
1.1 대칭성
1.2 R^d에서의 적분
2 푸리에 변환의 기초 이론
3 R^d×R에서의 파동 방정식
3.1 푸리에 변환 관점에서의 해
3.2 R^3×R에서의 파동 방정식
3.3 R^2×R에서의 파동 방정식 : 강하법
4 방사형 대칭성과 베셀 함수
5 라돈 변환과 몇 가지 응용
5.1 R^2에서의 엑스선 변환
5.2 R^3에서의 라돈 변환
5.3 평면파에 대한 참고사항
연습문제
심화문제

7장 유한 푸리에 해석
1 Z(N)에서의 푸리에 해석
1.1 군 Z(N)
1.2 Z(N)에서의 푸리에 역변환 정리와 프란셰렐 항등식
1.3 고속 푸리에 변환
2 유한 아벨 군에서의 푸리에 해석
2.1 아벨 군
2.2 지표
2.3 직교관계
2.4 완전집합으로서의 지표
2.5 푸리에 역변환 공식과 프란셰렐 공식
연습문제
심화문제

8장 디리클레 정리
1 기초 정수론
1.1 산술의 기본 정리
1.2 소수의 무한성
2 디리클레 정리
2.1 푸리에 해석, 디리클레 지표와 정리의 축소
2.2 디리클레 L-함수
3 정리의 증명
3.1 로그함수
3.2 L-함수
3.3 L-함수와 자명하지 않은 디리클레 지표
연습문제
심화문제

부록 적분
1 리만 적분
1.1 기본 성질
1.2 측도가 0인 집합과 적분가능함수의 불연속점
2 중적분
2.1 R^d에서의 리만 적분
2.2 반복적분
2.3 치환적분법
2.4 구면좌표
3 R^d에서의 이상적분
3.1 적절히 감소하는 함수의 적분
3.2 반복적분
3.3 구면좌표

장별 참고사항
참고문헌
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Elias M. Stein 엘리아스 M. 스타인 교수는 미국의 수학자로 조화해석학 분야의 선구자이자 대가로 꼽힌다. 그간의 공로를 인정받아 1999년에 세계 3대 수학상 중 하나인 울프상(Wolf Prize)을 수상했으며, 2001년에 국립 과학 훈장(National Medal of Science)을 받았다. 1955년 시카고 대학교에서 박사 학위를 취득했으며, 메사추세츠 공과대학교(MIT)와 시카고 대학교를 거쳐 프린스턴 대학교 수학과 교수로 재직했다. 2012년 명예교수로 은퇴하기 전까지 학부 수학을 위해 《프린스턴 해석학 시리즈》를 공동집필하는 등 교육에 힘을 쏟았다. 제자들도 마찬가지로 조화해석학 분야를 기반으로 다양한 업적을 이루었는데, 특히 찰스 페퍼먼(Charles Fefferman)이나 테렌스 타오(Terrence Tao)가 필즈상을 수상하는 영예를 누렸다.