미분기하학 바이블(2판)

기하학적 접근 방식으로 미분기하학 이론을 명확하게 설명하는 개론서
이 책은 미분기하학 분야의 권위가로 알려진 Mannfredo P. do Carmo의 명저 『Differential Geometry of Curves and Surfaces』의 국내 첫 번역서입니다. 미분기하학의 필수 이론을 모두 다루는 바이블 도서이며, 곡선과 곡면의 미분기하학을 국소적인 측면과 대역적인 측면 모두에서 소개합니다. 기계적으로 세부 내용을 다루기보다는 기본적인 기하학 성질을 강조하기 때문에 개념을 보다 명확하고 직관적으로 이해할 수 있습니다. 또한 이 책을 처음 공부할 때 생략할 수 있는 주제를 별도로 표기하여 어떤 내용을 필수로 공부해야 하는지 친절하게 알려줍니다. 각 장의 첫 번째 절에서는 해당 장에서 무엇을 배우며, 다른 장과 어떻게 연계되는지 설명합니다. 복잡하고 추상적인 개념은 다양한 그림 자료를 활용하여 보다 쉽게 구체적으로 제시합니다. 그리고 문제해결력과 응용력을 키울 수 있도록 다양한 유형의 문제를 실었습니다. 이 책의 엄밀하고 명확한 설명을 따라가면 미분기하학을 마스터할 수 있습니다.

1장 곡선
1.1 개요
1.2 매개화된 곡선
1.3 정칙곡선과 호의 길이
1.4 R^3에서의 벡터곱
1.5 호의 길이로 매개화된 곡선의 국소 이론
1.6 국소 표준형*
1.7 평면곡선의 대역적 성질*

2장 정칙곡면
2.1 개요
2.2 정칙곡면 : 정칙값의 역상
2.3 매개변수의 변환 : 곡면 위의 미분가능한 함수
2.4 접평면 : 사상의 미분
2.5 제1기본형식 : 넓이
2.6 곡면의 향*
2.7 향을 정할 수 있는 콤팩트곡면의 특성*
2.8 넓이의 기하학적 정의*
부록 : 연속성과 미분가능성의 개요

3장 가우스사상의 기하학
3.1 개요
3.2 가우스사상의 정의와 기본 성질
3.3 국소좌표계에서의 가우스사상
3.4 벡터장*
3.5 선직면과 극소곡면*
부록 : 자기수반선형사상과 이차형식

4장 곡면의 내재적 기하학
4.1 개요
4.2 등거리변환과 등각사상
4.3 가우스 정리와 양립방정식
4.4 평행이동과 측지선
4.5 가우스-보네 정리와 그 응용
4.6 지수사상과 측지 극좌표
4.7 측지선의 다른 성질 : 볼록근방*
부록 : 곡선과 곡면의 국소 이론에 대한 기본 정리의 증명

5장 대역적 미분기하학
5.1 개요
5.2 구의 강체성
5.3 완비곡면과 호프-리노우 정리
5.4 호의 길이의 제1변분과 제2변분 : 보네 정리
5.5 야코비장과 켤레점
5.6 덮개공간 : 아다마르 정리
5.7 곡선의 대역적 정리 : 페어리-밀너 정리
5.8 가우스곡률이 0인 곡면
5.9 야코비 정리
5.10 추상곡면 : 추가적인 일반화
5.11 힐베르트 정리
부록 : 유클리드 공간에 대한 일반 위상수학

참고문헌과 관련 설명

Manfredo P. do Carmo 브라질의 수학자이자 미분기하학 분야에서 활발한 활동을 펼친 권위자이다. 캘리포니아대학교 버클리에서 박사 학위를 받았다. 1966년부터 리우데자네이루에 있는 국립 순수 및 응용수학 연구소(IMPA)의 교수를 지냈고, 2003년부터 해당 기관의 명예교수를 지내다가 2018년에 작고하였다. 주요 저서로는 『Riemannian Geometry』 (Birkh?user, 1992), 『Differential Forms and Applications』 (Springer Verlag, 1994) 등이 있다.