복소해석학의 초석

복소해석학은 복소수와 복소변수를 매개로 하는 복소함수의 함수적인 성질과 사상적 특성을 다루는 수학의 주요 분야이며 수학뿐만 아니라 자연과학과 공학 등에서 제기되는 문제를 해결할 수 있는 많은 강력한 기술적 수단과 합리적인 근거를 내포하고 있어, 해석학과 대수학, 기하학 등 순수수학뿐만 아니라 근사론, 포텐셜 이론, 유체역학 등 응용과학과 계산과학 등에도 폭넓게 응용범위를 확장해 나가고 있다.

지난 몇 년간 복소해석학을 강의해 본 결과 대체로 해석개론에서 어려움을 느끼던 학생들이 유사한 해석학적 방법론의 토대 위에 사상적 특성을 기반으로 하는 복소해석학의 공부에서 생각보다 심각한 어려움에 직면한다는 사실을 절감하게 되었다.

이 책에서는 학생들이 학습에서 느끼는 어려움을 고려하여 가급적 해석개론에서 사용하는 기법을 준용하고 주제와 주제를 단계별로 서로 연동되게 순연 배치함으로써 비약에 따른 혼돈을 피하고 주제의 흐름을 보다 쉽고 일관성 있게 따라갈 수 있도록 세심한 주의를 기울였다. 아울러 이러한 목적에 부합하도록 되도록이면 추상적인 서술을 지양하고, 비교적 간결하고도 구체적인 논리전개와 내용을 적절하게 반영하는 예제와 연습문제를 배치하여 보다 쉽게 주제를 이해할 수 있도록 책을 구성하려고 노력하였다.

머리말

1장 복소수와 복소평면

1.1 복소수계

1.2 복소평면과 극형식

1.3 복소평면에서의 기본위상

1.4 복소수열과 급수



2장 복소함수

2.1 복소함수

2.2 함수의 극한과 연속성

2.3 해석함수와 Cauchy-Riemann 방정식

2.4 복소함수열과 함수급수, 멱급수



3장 복소기본함수

3.1 자연지수함수

3.2 삼각함수와 쌍곡선함수

3.3 로그함수와 복소지수

3.4 역삼각함수와 역쌍곡선함수



4장 복소적분

4.1 복소적분과 경로적분

4.2 Cauchy 정리와 Cauchy 적분공식

4.3 해석함수의 Taylor 급수 전개

4.4 Cauchy 적분공식의 응용



5장 고립특이점과 유수정리

5.1 고립특이점

5.2 Laurent 급수

5.3 유수와 유수정리

5.4 유수정리의 응용



6장 해석함수의 사상적 성질

6.1 회전수와 편각 원리

6.2 쌍선형사상

6.3 등각사상



7장 조화함수

7.1 조화함수

7.2 Poisson 적분공식

7.3 Poisson 적분공식의 응용



참고문헌

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김홍철