15분의 기적
수학 수업이 즐거워진다
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넘버토크Number Talks란, 학생들이 암산으로 계산 문제를 해결한 후, 그 전략에 대해 서로 이야기하는 간단한 일상 연습이다. 이러한 넘버토크를 통해서 학생들은 스스로 자신만의 방식으로 수학을 이해하고, 수학적으로 설득력 있는 논증을 만들고, 또래 친구들의 생각을 토대로 비평하면서 수학을 학습하게 되는데, 이때 놀라운 일이 발생한다.
학생들이 수학을 하는 것에 매우 흥미진진해하면서 아이디어 공유를 원하고, 절차적 풀이과정이 왜 그렇게 되는지 깊이 파고들면서, 점점 수학을 좋아하게 되고 수학을 이해할 수 있다는 것을 알게 된다.
이 책을 번역하게 된 이유
미국에서 연구실 생활을 막 시작했던 시
경문사 신간안내
절, 이 책의 저자 중 한 명인 캐시 험프리Cathy Humphreys 교사의 유명한 수업 비디오를 처음으로 보게 되었다. 대학원 동료들과 수업 분석을 할 때였는데 너무 놀라웠다. 그 당시 한국에서였다면 답을 구한 후 바로 끝났을 문제인데, 이 수업에서는 한 문제를 중심으로 다양한 학생들의 생각을 공유하도록 요구되고, 답이 맞든 틀리든 학생들의 생각이 모두 존중받으며, 다양하고 자유롭게 의견을 나누는 모습이 생소했다. 한편으로 이런 수업이 한국에서 가능할까 하는 의문이 들기도 했다. 그러나 대학원생으로 미국 내 다양한 초 · 중 ·고등학교 수학 수업을 비디오 카메라를 들고 다니며 녹화하고 수업 분석을 해보면서, 미국 내의 많은 수학 교사들도 어떻게 이러한 방식으로 수학 수업을 할 수 있을지에 대한 많은 고민을 갖고 있다는 사실을 깨닫게 되었다. 넘버토크Number Talks에 관한 이 책은 미국 전역의 많은 수학 교사들이 갖고 있는 이러한 고민에 조금 더 다가가 실천적인 방법을 제시해주는 책이다. 넘버토크는 현재 미국의 수학 수업을 변화시키려는 많은 교사들과 교사 연수자, 교사 교육자들이 활발하게 논의하고 수업에 적용하고 있는 수업 실태 중 하나로, 우리는 이러한 다양한 수학적인 전략과 아이디어들이 한국의 수학 수업에서도 존중받고, 학생들이 정답만 빨리 풀어내는 것에만 몰두하지 않고 진정한 수학적 사고 계발과 배움이 살아있는 수업을 경험할 수 있기를 바라는 마음에서 이 책을 번역하게 되었다.
학생들이 수학을 하는 것에 매우 흥미진진해하면서 아이디어 공유를 원하고, 절차적 풀이과정이 왜 그렇게 되는지 깊이 파고들면서, 점점 수학을 좋아하게 되고 수학을 이해할 수 있다는 것을 알게 된다.
이 책을 번역하게 된 이유
미국에서 연구실 생활을 막 시작했던 시
경문사 신간안내
절, 이 책의 저자 중 한 명인 캐시 험프리Cathy Humphreys 교사의 유명한 수업 비디오를 처음으로 보게 되었다. 대학원 동료들과 수업 분석을 할 때였는데 너무 놀라웠다. 그 당시 한국에서였다면 답을 구한 후 바로 끝났을 문제인데, 이 수업에서는 한 문제를 중심으로 다양한 학생들의 생각을 공유하도록 요구되고, 답이 맞든 틀리든 학생들의 생각이 모두 존중받으며, 다양하고 자유롭게 의견을 나누는 모습이 생소했다. 한편으로 이런 수업이 한국에서 가능할까 하는 의문이 들기도 했다. 그러나 대학원생으로 미국 내 다양한 초 · 중 ·고등학교 수학 수업을 비디오 카메라를 들고 다니며 녹화하고 수업 분석을 해보면서, 미국 내의 많은 수학 교사들도 어떻게 이러한 방식으로 수학 수업을 할 수 있을지에 대한 많은 고민을 갖고 있다는 사실을 깨닫게 되었다. 넘버토크Number Talks에 관한 이 책은 미국 전역의 많은 수학 교사들이 갖고 있는 이러한 고민에 조금 더 다가가 실천적인 방법을 제시해주는 책이다. 넘버토크는 현재 미국의 수학 수업을 변화시키려는 많은 교사들과 교사 연수자, 교사 교육자들이 활발하게 논의하고 수업에 적용하고 있는 수업 실태 중 하나로, 우리는 이러한 다양한 수학적인 전략과 아이디어들이 한국의 수학 수업에서도 존중받고, 학생들이 정답만 빨리 풀어내는 것에만 몰두하지 않고 진정한 수학적 사고 계발과 배움이 살아있는 수업을 경험할 수 있기를 바라는 마음에서 이 책을 번역하게 되었다.
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출판사 리뷰
출판사 리뷰
1장 넘버토크란 무엇일까? 왜 중요할까?
넘버토크는 수학에 대한 관심과 기쁨을 교실로 가져오도록 도와준다. 짧고 일상적인 넘버토크를 어떻게 하면 수업의 정기적인 일상 활동으로 만들 수 있을지를 보여주기 전에 먼저 넘버토크가 왜 진실로 필요한지 검토한다.
2장 넘버토크 시작하기
때로는 '수학 대화'math talks라고 불리는 넘버토크가 현재의 문헌과 전국의 많은 학급에서 두드러지고 있지만, 이 용어는 사람마다 각각 다르게 받아들여지고 있다. 이 장에서는 넘버토크가 의미하는 바를 제시하고, 이를 교실 수업의 일과로 설정하는 방법을 설명한다. 또한 교사들이 넘버토크를 수업에 적용하는 데 성공할 수 있도록 여러 교수 전략과 아이디어를 제시한다.
3장 넘버토크 실행을 위한 지도 원리
몇 가지 핵심 신념은 넘버토크를 하는 동안 교사의 교수학적 의사결정을 하는 데 중요한 역할을 한다. 우리는 이러한 '넘버토크 실행을 위한 지도 원리'가 교사 여러분의 수업의 일부가 되기를 바란다.
｜수 연산으로 넘버토크 시작하기
특정 연산을 깊이 있게 살펴보기 전에, 4장에서 7장까지의 장이 어떻게 구성되어 있는지 설명한다. 또한 넘버토크의 '새로운 기본 사항'으로 생각되는 세 가지 아이디어를 소개하고 덧셈, 뺄셈, 곱셈 및 나눗셈을 아우르는 공통된 이슈를 제시한다.
4장 학년을 아우르는 뺄셈
이 장에서는 넘버토크를 시작하는 데 뺄셈이 왜 좋은 지점인지 논의한다. 학년 전반에 걸쳐 뺄셈의 복잡성이 심화됨에 따라 뺄셈에서 효율적으로 적용이 되는 주요 전략에 관해 설명하고, 어떤 문제 대신 다른 문제를 선택하는 것이 왜 좋은지 고려하는 데 도움을 준다.
5장 학년을 아우르는 곱셈
이 장에서는 초기 곱셈에서부터 두 자리 수 이상의 정수와 유리수의 곱셈, 대수적 문자식의 곱셈까지 다루고 있다. 또한 대수로의 변환에서 특히 강력한 기하학적 표현에 더 주의를 기울인다.
6장 학년을 아우르는 덧셈
이 장에서는 학년이 올라갈수록 복잡성이 심화됨에 따라 덧셈에서 효율적으로 적용이 되는 주요 전략에 관해 설명하고 전략을 개발한다. 이전 장들과 마찬가지로, 학생들이 문제를 해결하는 전략과 관련되어 있는 연산 법칙을 탐구한다.
7장 학년을 아우르는 나눗셈
넘버토크는 불필요한 양의 수학 수업 시간을 소비하면서 오랫동안 많은 학생들을 혼란에 빠뜨려왔던 전통적인 나눗셈 알고리즘을 가르치는 것에 대한 신선한 대안을 제공할 수 있다. 이 장에서는 학생들이 나눗셈을 개념적으로 이해할 수 있는 방법, 정수와 유리수를 효과적으로 나누는 방법, 그리고 나눗셈에서 합리적인 어림셈을 하는 방법에 관해 논의한다.
8장 분수, 소수, 퍼센트 이해하기
많은 중고등학생들의 학습내용은 분수 개념과 아무 관계도 없어 보이지만, 분수에 대한 이해의 부족은 중고등학교의 수학 수업에서의 성공을 가로막는 걸림돌이 된다. 이 장에서는 넘버토크를 통해 분수, 소수 및 백분율을 이해하는 데 도움이 되는 문제와 아이디어를 제공한다.
9장 탐구를 이끌어내는 넘버토크
넘버토크를 약 15분으로 제한하는 것이 중요하지만, 때로는 넘버토크 중에 추가적인 탐구를 하는 것이 좋을 때가 발생한다. 이 장에서는 넘버토크에서 제기된 아이디어가 어떻게 원래의 수학 수업으로 이어질 수 있는지 설명한다.
10장 넘버토크에 대한 Q&A
넘버토크가 학생들에게 중요하다고 생각하는 만큼, 조심스럽게 계획했을지라도 모든 것이 원활하게 진행되는 것은 아니다. 교사와 학생들은 함께 배워 나가기 때문에 험난한 여정이 될 것이다. 그러나 이러한 피할 수 없는 힘든 지점은 학습을 위한 매우 좋은 기회를 제공한다. 이 장에서는 우리가 받았던 어려운 질문들을 소개하고, 넘버토크에서 직면했던 공통적인 어려움 중의 일부를 해결하기 위해 교사가 할 수 있는 것에 대한 아이디어를 공유한다.
11장 더 나아가서
이 장에서는 교사가 변화 가능한 교실 실천이라고 믿는 것을 유지하도록 영감을 주기를 바라면서 우리의 비전으로 되돌아간다.
* 넘버토크를 해보니 이런 점이 좋았어요!
어떤 전략을 만들어내고 실험하는 것은 절차를 암기하는 것보다 훨씬 더 생산적인 수학적 힘을 필요로 한다. 나는 넘버토크가 학생들이 수학에 관해 말하고, 수학적으로 추론하며, 수학적으로 설득력 있는 수 감각을 개발한다고 믿는다.
-앨라배마 대학의 수학 강사 도나
넘버토크는 나의 수업과 학생들에게 수학이 무엇인지 토론하는 장을 제공하고, 어떻게 수학으로 의사소통을 하는지, 수학적 개념에 관한 이해를 서로 구축하는지를 제공한다.
-뉴멕시코 주의 고등학교 교사 타라
나는 보충 수업에서 넘버토크를 시작했고, 넘버토크는 곧 학생들이 가장 좋아하는 수업 시간이 되었다. 그들이 수업에 들어와서 제일 먼저 물어보는 것은 그날 넘버토크를 하느냐이다.
-워싱턴 주의 수학교사 니샤
처음에는 전통적인 방식으로만 수학을 했는데, 이제는 다른 사람들이 그 문제에 대해 어떻게 생각하는지 이해할 수 있어요. 문제를 더 간단하게 만들고 이해함으로써 내가 더 똑똑해지는 것 같아요.
-캘리포니아 주 산타클라라밸리의 고등학생 재비어
넘버토크는 제가 문제에 대해 생각하는 새로운 방법을 보여주었고, 문제를 푸는 동안 무엇을 하고 있었는지에 대해 깨닫게 도와주었어요.
-샌프란시스코 지역의 고등학생 앤디
넘버토크는 수학에 대한 관심과 기쁨을 교실로 가져오도록 도와준다. 짧고 일상적인 넘버토크를 어떻게 하면 수업의 정기적인 일상 활동으로 만들 수 있을지를 보여주기 전에 먼저 넘버토크가 왜 진실로 필요한지 검토한다.
2장 넘버토크 시작하기
때로는 '수학 대화'math talks라고 불리는 넘버토크가 현재의 문헌과 전국의 많은 학급에서 두드러지고 있지만, 이 용어는 사람마다 각각 다르게 받아들여지고 있다. 이 장에서는 넘버토크가 의미하는 바를 제시하고, 이를 교실 수업의 일과로 설정하는 방법을 설명한다. 또한 교사들이 넘버토크를 수업에 적용하는 데 성공할 수 있도록 여러 교수 전략과 아이디어를 제시한다.
3장 넘버토크 실행을 위한 지도 원리
몇 가지 핵심 신념은 넘버토크를 하는 동안 교사의 교수학적 의사결정을 하는 데 중요한 역할을 한다. 우리는 이러한 '넘버토크 실행을 위한 지도 원리'가 교사 여러분의 수업의 일부가 되기를 바란다.
｜수 연산으로 넘버토크 시작하기
특정 연산을 깊이 있게 살펴보기 전에, 4장에서 7장까지의 장이 어떻게 구성되어 있는지 설명한다. 또한 넘버토크의 '새로운 기본 사항'으로 생각되는 세 가지 아이디어를 소개하고 덧셈, 뺄셈, 곱셈 및 나눗셈을 아우르는 공통된 이슈를 제시한다.
4장 학년을 아우르는 뺄셈
이 장에서는 넘버토크를 시작하는 데 뺄셈이 왜 좋은 지점인지 논의한다. 학년 전반에 걸쳐 뺄셈의 복잡성이 심화됨에 따라 뺄셈에서 효율적으로 적용이 되는 주요 전략에 관해 설명하고, 어떤 문제 대신 다른 문제를 선택하는 것이 왜 좋은지 고려하는 데 도움을 준다.
5장 학년을 아우르는 곱셈
이 장에서는 초기 곱셈에서부터 두 자리 수 이상의 정수와 유리수의 곱셈, 대수적 문자식의 곱셈까지 다루고 있다. 또한 대수로의 변환에서 특히 강력한 기하학적 표현에 더 주의를 기울인다.
6장 학년을 아우르는 덧셈
이 장에서는 학년이 올라갈수록 복잡성이 심화됨에 따라 덧셈에서 효율적으로 적용이 되는 주요 전략에 관해 설명하고 전략을 개발한다. 이전 장들과 마찬가지로, 학생들이 문제를 해결하는 전략과 관련되어 있는 연산 법칙을 탐구한다.
7장 학년을 아우르는 나눗셈
넘버토크는 불필요한 양의 수학 수업 시간을 소비하면서 오랫동안 많은 학생들을 혼란에 빠뜨려왔던 전통적인 나눗셈 알고리즘을 가르치는 것에 대한 신선한 대안을 제공할 수 있다. 이 장에서는 학생들이 나눗셈을 개념적으로 이해할 수 있는 방법, 정수와 유리수를 효과적으로 나누는 방법, 그리고 나눗셈에서 합리적인 어림셈을 하는 방법에 관해 논의한다.
8장 분수, 소수, 퍼센트 이해하기
많은 중고등학생들의 학습내용은 분수 개념과 아무 관계도 없어 보이지만, 분수에 대한 이해의 부족은 중고등학교의 수학 수업에서의 성공을 가로막는 걸림돌이 된다. 이 장에서는 넘버토크를 통해 분수, 소수 및 백분율을 이해하는 데 도움이 되는 문제와 아이디어를 제공한다.
9장 탐구를 이끌어내는 넘버토크
넘버토크를 약 15분으로 제한하는 것이 중요하지만, 때로는 넘버토크 중에 추가적인 탐구를 하는 것이 좋을 때가 발생한다. 이 장에서는 넘버토크에서 제기된 아이디어가 어떻게 원래의 수학 수업으로 이어질 수 있는지 설명한다.
10장 넘버토크에 대한 Q&A
넘버토크가 학생들에게 중요하다고 생각하는 만큼, 조심스럽게 계획했을지라도 모든 것이 원활하게 진행되는 것은 아니다. 교사와 학생들은 함께 배워 나가기 때문에 험난한 여정이 될 것이다. 그러나 이러한 피할 수 없는 힘든 지점은 학습을 위한 매우 좋은 기회를 제공한다. 이 장에서는 우리가 받았던 어려운 질문들을 소개하고, 넘버토크에서 직면했던 공통적인 어려움 중의 일부를 해결하기 위해 교사가 할 수 있는 것에 대한 아이디어를 공유한다.
11장 더 나아가서
이 장에서는 교사가 변화 가능한 교실 실천이라고 믿는 것을 유지하도록 영감을 주기를 바라면서 우리의 비전으로 되돌아간다.
* 넘버토크를 해보니 이런 점이 좋았어요!
어떤 전략을 만들어내고 실험하는 것은 절차를 암기하는 것보다 훨씬 더 생산적인 수학적 힘을 필요로 한다. 나는 넘버토크가 학생들이 수학에 관해 말하고, 수학적으로 추론하며, 수학적으로 설득력 있는 수 감각을 개발한다고 믿는다.
-앨라배마 대학의 수학 강사 도나
넘버토크는 나의 수업과 학생들에게 수학이 무엇인지 토론하는 장을 제공하고, 어떻게 수학으로 의사소통을 하는지, 수학적 개념에 관한 이해를 서로 구축하는지를 제공한다.
-뉴멕시코 주의 고등학교 교사 타라
나는 보충 수업에서 넘버토크를 시작했고, 넘버토크는 곧 학생들이 가장 좋아하는 수업 시간이 되었다. 그들이 수업에 들어와서 제일 먼저 물어보는 것은 그날 넘버토크를 하느냐이다.
-워싱턴 주의 수학교사 니샤
처음에는 전통적인 방식으로만 수학을 했는데, 이제는 다른 사람들이 그 문제에 대해 어떻게 생각하는지 이해할 수 있어요. 문제를 더 간단하게 만들고 이해함으로써 내가 더 똑똑해지는 것 같아요.
-캘리포니아 주 산타클라라밸리의 고등학생 재비어
넘버토크는 제가 문제에 대해 생각하는 새로운 방법을 보여주었고, 문제를 푸는 동안 무엇을 하고 있었는지에 대해 깨닫게 도와주었어요.
-샌프란시스코 지역의 고등학생 앤디
목차
목차
1장 넘버토크란 무엇일까? 왜 중요할까?
2장 넘버토크 시작하기
3장 넘버토크 실행을 위한 지도 원리
4장 학년을 아우르는 뺄셈
5장 학년을 아우르는 곱셈
6장 학년을 아우르는 덧셈
7장 학년을 아우르는 나눗셈
8장 분수, 소수, 퍼센트 이해하기
9장 탐구를 이끌어내는 넘버토크
10장 넘버토크에 대한 Q&A
11장 더 나아가서
2장 넘버토크 시작하기
3장 넘버토크 실행을 위한 지도 원리
4장 학년을 아우르는 뺄셈
5장 학년을 아우르는 곱셈
6장 학년을 아우르는 덧셈
7장 학년을 아우르는 나눗셈
8장 분수, 소수, 퍼센트 이해하기
9장 탐구를 이끌어내는 넘버토크
10장 넘버토크에 대한 Q&A
11장 더 나아가서
저자
저자
캐시 험프리
저자 캐시 험프리
스탠퍼드 대학(Stanford University)에서 수학교육 및 학습을 연구하고 있다. 30년간 캘리포니아 공립학교에서 아이들을 가르쳤으며, 실리콘밸리 수학협의회 수석 교사 등 수학교육 관련 다양한 활동을 하고 있다. 공저로 《Connecting Mathematical Ideas(Heinemann, 2005)》가 있다.
스탠퍼드 대학(Stanford University)에서 수학교육 및 학습을 연구하고 있다. 30년간 캘리포니아 공립학교에서 아이들을 가르쳤으며, 실리콘밸리 수학협의회 수석 교사 등 수학교육 관련 다양한 활동을 하고 있다. 공저로 《Connecting Mathematical Ideas(Heinemann, 2005)》가 있다.
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