대학수학 길라잡이
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초급 대학수학 교재로 고등학교 수학과 대학수학 1학년 교육과정의 내용이 이어지도록 구성했다. 현재 고등학교 수학과 교육과정은 여러 차례의 개정으로 대학수학과의 간극이 심화되고 있다. 일례로 삼각함수 공식은 고등학교 수학과 교육과정에서 일부만 다루기 때문에 학생들이 대학수학을 포함한 기초 과학과 공학이론을 학습하기 위해서 추가적인 교육이 절대적으로 필요하다. 이와 같은 추가적인 교육을 해당 전공과목에서 개별적으로 감당하는 것은 강좌운영의 부담을 크게 만든다. 결과적으로 해당 교과에 이어지는 발전 교과들의 파행적 운영으로 이어져 대학교육이 지향하는 인재의 전문성에 대해 질적 저하를 초래할 것이다.
이러한 문제점을 개선하기 위해, 이 교재는 첫째, 앞에서 언급한 것처럼 고등학교 수학과 교육과정의 내용과 대학수학 1학년 과정의 간극이 채워지는 수학 내용을 제공한다. 최근 고등학교 수학과 교육과정에서는 다루지 않거나 소극적으로 다루는 내용을 포함하여 ‘수학 내용적인 측면에서의 보완뿐 아니라 다양한 문제 해결 방법의 학습’을 제시하였다. 둘째, 엄밀성을 기반으로 하는 대학수학의 전공과정 학습을 선행적으로 경험할 수 있도록 ‘수학적 논증 학습을 위한 내용’을 다루었다. 고등학교 수학과 교육과정에서 증명 과정 없이 다루어지는 여러 증명을 다루었으며, 엄밀한 증명 과정이 필요한 대학수학의 고급과정에 속한 내용들에 대해서는 고등학교 구학과 교육과정을 기반으로 기술할 수 있는 방법들을 채택하였다.
또한, 대학수학 내용으로 구성된 부분의 내용들도 소개하였는데, 향후 고급과정의 수학 학습에서 긴요하고도 자주 활용할 수 있는 내용들을 위주로 최대한 엄밀한 논증 방식을 유지하였다. 이론에 대한 다양한 예시, 예제, 정의 등을 찾아보기 쉽도록 ‘정리 찾아보기’ 페이지를 구성하였다.
이화여자대학교 수학과 4단계 BK 교육연구사업의 일환으로 기획 및 저술되었다.
이러한 문제점을 개선하기 위해, 이 교재는 첫째, 앞에서 언급한 것처럼 고등학교 수학과 교육과정의 내용과 대학수학 1학년 과정의 간극이 채워지는 수학 내용을 제공한다. 최근 고등학교 수학과 교육과정에서는 다루지 않거나 소극적으로 다루는 내용을 포함하여 ‘수학 내용적인 측면에서의 보완뿐 아니라 다양한 문제 해결 방법의 학습’을 제시하였다. 둘째, 엄밀성을 기반으로 하는 대학수학의 전공과정 학습을 선행적으로 경험할 수 있도록 ‘수학적 논증 학습을 위한 내용’을 다루었다. 고등학교 수학과 교육과정에서 증명 과정 없이 다루어지는 여러 증명을 다루었으며, 엄밀한 증명 과정이 필요한 대학수학의 고급과정에 속한 내용들에 대해서는 고등학교 구학과 교육과정을 기반으로 기술할 수 있는 방법들을 채택하였다.
또한, 대학수학 내용으로 구성된 부분의 내용들도 소개하였는데, 향후 고급과정의 수학 학습에서 긴요하고도 자주 활용할 수 있는 내용들을 위주로 최대한 엄밀한 논증 방식을 유지하였다. 이론에 대한 다양한 예시, 예제, 정의 등을 찾아보기 쉽도록 ‘정리 찾아보기’ 페이지를 구성하였다.
이화여자대학교 수학과 4단계 BK 교육연구사업의 일환으로 기획 및 저술되었다.
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출판사 리뷰
출판사 리뷰
목차
목차
머리말 / iii
PART I
제1장 수열과 급수
제1절 수열 / 4
수열과 귀납법 / 4
수열의 극한 / 8
제2절 급수 / 13
유한급수 / 13
무한급수의 수렴과 발산 / 15
제2장 함수
제1절 함수의 연산 / 22
함수의 정의 / 22
함수의 연산 / 25
대수함수 / 29
제2절 초월함수 / 35
초월함수의 정의와 예 / 35
삼각함수의 법칙들 / 42
쌍곡선 함수의 법칙들 / 49
제3절 최대·최소 문제 / 53
최대·최소 문제 53
제3장 미분
제1절 함수의 극한과 연속 / 58
함수의 극한 / 58
함수의 연속 / 66
제2절 미분계수와 도함수 / 73
미분의 정의 / 73
미분의 계산 / 76
제3절 미분의 활용 / 97
접선의 방정식 / 97
최대·최소 문제 / 102
미분과 그래프 / 106
이계미분 / 109
도함수의 활용 / 114
제4장 적분
제1절 부정적분과 정적분 / 120
부정적분 / 120
정적분 / 124
미적분학의 기본정리 / 129
제2절 적분법 / 132
적분법 / 132
제3절 적분의 활용 / 141
기하학적 활용 / 141
정적분의 수렴성과 급수의 수렴성 / 148
PART II
제5장 복소수
제1절 복소수의 연산 / 160
허수와 복소수 / 160
복소수의 덧셈과 곱셈 / 160
제2절 켤레복소수와 절댓값 / 162
제3절 복소수의 극형식 / 164
n제곱근 / 166
복소수의 지수함수표현 / 167
제4절 극좌표 / 170
극좌표계 / 170
극방정식과 그래프 / 172
제6장 부등식
제1절 절대부등식 / 180
거듭제곱, 제곱근의 부등식 / 180
삼각 부등식 / 180
완전제곱꼴의 부등식 / 181
산술-기하-조화평균 부등식 / 182
코시-슈바르츠 부등식 / 184
부등식과 최대, 최소 / 187
제2절 부등식의 영역 / 188
방정식과 부등식의 영역 / 188
최대, 최소 / 192
제7장 벡터
제1절 좌표공간과 벡터 / 196
좌표평면과 좌표공간 / 196
벡터 / 197
제2절 벡터의 내적 / 199
내적의 정의와 성질 / 199
제3절 도형의 방정식 / 205
직선의 방정식 / 205
초평면의 방정식 / 207
구의 방정식 / 211
제4절 2차곡선 / 213
2차곡선 / 213
접선의 방정식 / 216
자취와 영역 / 219
제8장 행렬
제1절 행렬의 연산 / 224
제2절 행렬식과 가역행렬 / 226
제3절 선형변환과 도형 / 239
PART III
제9장 명제와 집합
제1절 명제 / 252
명제의 정의 / 252
명제의 기본연산 / 253
함의, 동치, 명제 연산의 법칙 / 255
모순명제 / 257
한정 / 257
추론과 검증 / 259
제2절 집합 / 261
집합의 정의 / 261
집합의 기본연산 / 264
모임의 개념 / 268
러셀의 역설 / 270
제3절 함수 / 272
두 집합의 곱집합 / 272
관계와 분할 / 272
함수의 정의 / 276
함수의 합성 / 280
제4절 집합의 크기 / 284
무한집합, 가산집합 / 284
기수 / 293
기수의 합과 곱 / 295
제10장 명제와 집합
제1절 명제 / 252
약수와 배수 / 302
동치류와 동치류의 계산 / 304
제2절 소수와 최대공약수 / 308
소수 / 308
최대공약수 / 310
제3절 정수 부정방정식 / 313
1차 정수 부정방정식 / 313
2차 정수 부정방정식 / 315
오일러 공식과 정다면체 / 317
제11장 방정식과 부등식
제1절 여러 가지 방정식 / 322
체 구조와 인수분해 / 322
체의 확장 / 323
고차 방정식 / 325
상반방정식 / 325
대칭을 이용한 인수분해 / 327
3차 방정식의 해법 / 329
분수 방정식 / 332
무리 방정식 / 333
제2절 여러 가지 부등식 / 336
순서변환 / 336
순서변환 부등식 I / 336
순서변환 부등식 II / 338
연습문제 힌트 / 341
찾아보기 / 351
정리 찾아보기 / 357
PART I
제1장 수열과 급수
제1절 수열 / 4
수열과 귀납법 / 4
수열의 극한 / 8
제2절 급수 / 13
유한급수 / 13
무한급수의 수렴과 발산 / 15
제2장 함수
제1절 함수의 연산 / 22
함수의 정의 / 22
함수의 연산 / 25
대수함수 / 29
제2절 초월함수 / 35
초월함수의 정의와 예 / 35
삼각함수의 법칙들 / 42
쌍곡선 함수의 법칙들 / 49
제3절 최대·최소 문제 / 53
최대·최소 문제 53
제3장 미분
제1절 함수의 극한과 연속 / 58
함수의 극한 / 58
함수의 연속 / 66
제2절 미분계수와 도함수 / 73
미분의 정의 / 73
미분의 계산 / 76
제3절 미분의 활용 / 97
접선의 방정식 / 97
최대·최소 문제 / 102
미분과 그래프 / 106
이계미분 / 109
도함수의 활용 / 114
제4장 적분
제1절 부정적분과 정적분 / 120
부정적분 / 120
정적분 / 124
미적분학의 기본정리 / 129
제2절 적분법 / 132
적분법 / 132
제3절 적분의 활용 / 141
기하학적 활용 / 141
정적분의 수렴성과 급수의 수렴성 / 148
PART II
제5장 복소수
제1절 복소수의 연산 / 160
허수와 복소수 / 160
복소수의 덧셈과 곱셈 / 160
제2절 켤레복소수와 절댓값 / 162
제3절 복소수의 극형식 / 164
n제곱근 / 166
복소수의 지수함수표현 / 167
제4절 극좌표 / 170
극좌표계 / 170
극방정식과 그래프 / 172
제6장 부등식
제1절 절대부등식 / 180
거듭제곱, 제곱근의 부등식 / 180
삼각 부등식 / 180
완전제곱꼴의 부등식 / 181
산술-기하-조화평균 부등식 / 182
코시-슈바르츠 부등식 / 184
부등식과 최대, 최소 / 187
제2절 부등식의 영역 / 188
방정식과 부등식의 영역 / 188
최대, 최소 / 192
제7장 벡터
제1절 좌표공간과 벡터 / 196
좌표평면과 좌표공간 / 196
벡터 / 197
제2절 벡터의 내적 / 199
내적의 정의와 성질 / 199
제3절 도형의 방정식 / 205
직선의 방정식 / 205
초평면의 방정식 / 207
구의 방정식 / 211
제4절 2차곡선 / 213
2차곡선 / 213
접선의 방정식 / 216
자취와 영역 / 219
제8장 행렬
제1절 행렬의 연산 / 224
제2절 행렬식과 가역행렬 / 226
제3절 선형변환과 도형 / 239
PART III
제9장 명제와 집합
제1절 명제 / 252
명제의 정의 / 252
명제의 기본연산 / 253
함의, 동치, 명제 연산의 법칙 / 255
모순명제 / 257
한정 / 257
추론과 검증 / 259
제2절 집합 / 261
집합의 정의 / 261
집합의 기본연산 / 264
모임의 개념 / 268
러셀의 역설 / 270
제3절 함수 / 272
두 집합의 곱집합 / 272
관계와 분할 / 272
함수의 정의 / 276
함수의 합성 / 280
제4절 집합의 크기 / 284
무한집합, 가산집합 / 284
기수 / 293
기수의 합과 곱 / 295
제10장 명제와 집합
제1절 명제 / 252
약수와 배수 / 302
동치류와 동치류의 계산 / 304
제2절 소수와 최대공약수 / 308
소수 / 308
최대공약수 / 310
제3절 정수 부정방정식 / 313
1차 정수 부정방정식 / 313
2차 정수 부정방정식 / 315
오일러 공식과 정다면체 / 317
제11장 방정식과 부등식
제1절 여러 가지 방정식 / 322
체 구조와 인수분해 / 322
체의 확장 / 323
고차 방정식 / 325
상반방정식 / 325
대칭을 이용한 인수분해 / 327
3차 방정식의 해법 / 329
분수 방정식 / 332
무리 방정식 / 333
제2절 여러 가지 부등식 / 336
순서변환 / 336
순서변환 부등식 I / 336
순서변환 부등식 II / 338
연습문제 힌트 / 341
찾아보기 / 351
정리 찾아보기 / 357
저자
저자
김현규
예일대학교(Yale University) 수학과 졸업(이학박사)
전) 고등과학원(KIAS) 연구원 및 조교수
전) 이화여자대학교 자연과학대학 수학과 부교수
현) 고등과학원(KIAS) KIAS Fellow(부교수)
전) 고등과학원(KIAS) 연구원 및 조교수
전) 이화여자대학교 자연과학대학 수학과 부교수
현) 고등과학원(KIAS) KIAS Fellow(부교수)
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