양자 컴퓨팅의 이해(양자 컴퓨팅 시리즈)

◈ 이 책의 대상 독자 ◈

이 책의 의도는 컴퓨터 과학자, 공학자, 수학자 그리고 충분한 수학 지식을 갖고서 이 주제에 관심을 가진 누구에게나 양자 컴퓨터를 다뤄볼 수 있도록 만드는 것이다. 전체적으로 벡터 공간, 선형변환, 고윳값, 고유 벡터와 같은 학부생 수준의 기본적인 선형대수학 개념이 사용된다. 몇몇 절은 더 어려운 수학을 요구할 것이다. 8.6.1절, 8.6.2절, 부록 B, 11장의 대부분에서는 군론에 익숙해야 할 것이다. 군론은 상자 안에서 설명할 것이다. 다만 군론에 대해 배운 적이 없는 독자라면 군론을 다룬 교재의 도움을 받거나 이 절들을 건너뛰어야 할 것이다.

◈ 옮긴이의 말 ◈

최근 과학계 뉴스에 따르면 전 세계적으로 양자 컴퓨터에 대한 관심이 높아지고 있다. 심지어 과학계뿐만 아니라 산업계 전반을 비롯한 국가적인 관심까지도 받는 중이다. 이는 아마도 예전에는 단지 이론적 가능성에 불과했고, 공상과학 소설에서만 등장하는 환상의 존재였던 양자 컴퓨터가 이제는 가까운 미래에 실용적인 수준에서 사용 가능하다는 판단이 서기 때문이리라. 이에 따라 구글, IBM, 마이크로소프트, 아마존 등 세계적인 컴퓨터 기업에서 양자 컴퓨터에 대한 연구와 투자를 하고 있다.
양자 컴퓨터가 관심을 받는 이유는 고전 컴퓨터에서는 현실적으로 빠르게 풀 수 없을 것으로 보이는 문제를 유의미한 시간 내에 빠르게 풀 수 있을 것으로 보이기 때문이다. 물론 양자 컴퓨터에 대한 연구가 양자역학 자체를 더 깊이 이해하고 기초과학을 더 발전시키는 등 전반적인 물리학 연구에 주는 함의가 충분히 있겠으나, 기초과학을 벗어나 컴퓨터공학, 암호학, 경제학 등 다양한 응용 분야에서도 관심을 보이는 것은 고전 컴퓨터를 초월할 것이라는 기대감 때문일 것이다.
이처럼 많은 사람이 양자 컴퓨터에 대해 관심은 갖고 있지만 실제로 양자 컴퓨터의 작동 원리를 이해하는 이는 많지 않다. 양자 컴퓨터의 작동 원리의 바탕이 되는 양자역학을 이해하는 것부터 쉽지 않기 때문이다. 양자 컴퓨터를 이해하려면 양자 상태로 이뤄진 큐비트, 그 큐비트의 얽힘, 얽힌 큐비트에 작용하는 양자 연산자와 같은 개념을 이해해야 하는데, 이와 같은 양자 개념을 고전적인 컴퓨터 이론에서 배워 온 비트와 논리 게이트 개념으로 설명하려고 들면 혼란에 빠질 뿐 제대로 이해하기가 어려워서이다. 아마 20세기 초에 양자역학이 고전역학을 대체하는 것으로 소개됐을 때 물리학자들이 받은 충격을 고전적인 컴퓨터 이론을 공부한 현재의 컴퓨터 엔지니어들이 양자 컴퓨터를 배워야 할 때 고스란히 받을 것이다.
문제는 그 작동 원리를 몰라도 수많은 애플리케이션이 등장해 실생활에 현실적 도움을 주고 있는 고전 컴퓨터와는 달리, 이제 갓 태어나 그 쓸모를 찾기 시작하는 양자 컴퓨터는 작동 원리를 알지 못하면 고전 컴퓨터보다 나을 것이 없다는 점이다. 먼 미래에 양자 컴퓨터가 대중화되고 일상적으로 사용하게 되면 그 원리를 모르고도 사용할 수 있겠지만, 현시대를 살아가는 컴퓨터 엔지니어들이 양자 컴퓨터를 사용하고 싶다면 어쩔 수 없이 고전 컴퓨터와 다른 양자적인 컴퓨터 이론을 공부해야만 한다. 이는 진공관을 이용해서 만들어졌던 초창기 컴퓨터를 사용하기 위해서는 진공관의 작동 원리를 대충이나마 이해하고 있어야 했던 것과 마찬가지일 것이다.
그렇다고 양자 컴퓨터를 사용하기 위해서 물리학 전체를 다시 공부한다는 것은 배보다 배꼽이 더 커지는 격이다. 바로 이 지점에서 이 책을 추천할 수 있다. 큐비트, 양자게이트, 양자얽힘과 같은 기본 개념에서 시작해 쇼어 알고리듬, 그로버 알고리듬과 같은 중요한 양자 알고리듬을 다루고, 양자 엔트로피, 양자오류보정, 강건한 양자계산과 같은 전문적인 주제까지 훑어본다. 부디 이 번역서가 한국어판 독자들에게 저자의 매력적인 설명을 훼손하지 않고 전달하기를 바라며, 아울러 양자 컴퓨터에 관심 있는 독자들이 이 책을 읽고 보다 깊이 있는 주제들을 연구할 수 있는 기초를 다지게 되길 바란다.

1장. 소개


1부. 양자 기초 개념


2장. 단일 큐비트 양자계
2.1 편광된 광자의 양자역학
2.1.1 간단한 실험
2.1.2 양자역학적 설명
2.2 단일 양자비트
2.3 단일 큐비트 측정
2.4 양자 키 분배 통신 규약
2.5 단일 큐비트계의 상태 공간
2.5.1 상대 위상과 전역 위상
2.5.2 단일 큐비트의 상태 공간에 대한 기하학적 관점
2.5.3 일반적인 양자 상태 공간에 대한 설명
2.6 참고문헌
2.7 연습 문제


3장 다중 큐비트계
3.1 양자 상태 공간
3.1.1 벡터 공간의 직합
3.1.2 벡터 공간의 텐서곱
3.1.3 n큐비트계의 상태 공간
3.2 얽힌 상태
3.3 다중 큐비트 측정의 기초
3.4 얽힌 상태를 사용하는 양자 키 분배
3.5 참고문헌
3.6 연습 문제
4장 다중 큐비트 상태의 측정
4.1 선형변환에 대한 디랙의 브라/켓 표기법
4.2 측정에 대한 투영연산자
4.3 측정에 대한 에르미트 연산자 형식 체계
4.3.1 측정 가설
4.4 EPR 역설과 벨의 정리
4.4.1 벨의 정리에 대한 실험 장치
4.4.2 양자역학이 예측하는 결과
4.4.3 벨의 정리의 특수한 경우: 임의의 국소적 숨은 변수 이론이 예측하는 결과
4.4.4 벨의 부등식
4.5 참고문헌
4.6 연습 문제


5장. 양자 상태 변환
5.1 유니타리 변환
5.1.1 불가능한 변환: 복제 불가 원리
5.2 몇 가지 단순한 양자 게이트
5.2.1 파울리 변환
5.2.2 아다마르 변환
5.2.3 단일 큐비트 변환에서 다중 큐비트 변환
5.2.4 제어형 NOT 게이트와 다른 단일 제어형 게이트
5.3 단순한 게이트의 응용
5.3.1 고밀도 부호화
5.3.2 양자 상태 원격 전송
5.4 유니타리 변환을 양자 회로로 구현하기
5.4.1 단일 큐비트 변환의 분해
5.4.2 단일 제어형 단일 큐비트 변환
5.4.3 다중 제어 단일 큐비트 변환
5.4.4 일반적인 유니타리 변환
5.5 만능 근사 게이트 집합
5.6 표준 회로 모형
5.7 참고문헌
5.8 연습 문제


6장 고전계산의 양자화
6.1 가역적인 고전계산에서 양자계산으로
6.1.1 단순한 고전 게이트의 가역적 판본과 양자적 판본
6.2 고전 회로의 가역적 구현
6.2.1 순진한 가역적 구현
6.2.2 일반적 구성
6.3 양자 구현을 위한 언어
6.3.1 기본 개념
6.3.2 함수
6.4 산술 연산을 위한 몇 가지 예제 프로그램
6.4.1 AND 연산의 효율적인 구현
6.4.2 다중 제어형 단일 큐비트 변환의 효율적 구현
6.4.3 제자리 덧셈
6.4.4 모듈러 덧셈
6.4.5 모듈러 곱셈
6.4.6 모듈러 지수 함수
6.5 참고문헌
6.6 연습 문제


2부. 양자 알고리듬


7장 양자 알고리듬 소개
7.1 중첩 상태에서 계산하기
7.1.1 월시-아다마르 변환
7.1.2 양자 병렬성
7.2 복잡도 개념
7.2.1 질의 복잡도
7.2.2 통신 복잡도
7.3 간단한 양자 알고리듬
7.3.1 도이치 문제
7.4 양자 서브루틴
7.4.1 양자 서브루틴에서 얽히지 않은 임시 큐비트의 중요성
7.4.2 기저 벡터의 부분집합에 대한 위상 변화
7.4.3 상태에 따른 위상 이동
7.4.4 상태 의존 단일 큐비트 진폭 이동
7.5 몇 가지 간단한 양자 알고리듬
7.5.1 도이치-조사 문제
7.5.2 베른슈타인-바지라니 문제
7.5.3 사이먼 문제
7.5.4 분산계산
7.6 양자 병렬성에 대한 설명
7.7 기계 모형과 복잡도 분류
7.7.1 복잡도 분류
7.7.2 복잡도: 알려진 결과
7.8 양자 푸리에 변환
7.8.1 고전 푸리에 변환
7.8.2 양자 푸리에 변환
7.8.3 빠른 푸리에 변환의 양자 회로
7.9 참고문헌
7.10 연습 문제


8장 쇼어 알고리듬
8.1 주기 찾기의 고전적인 축약법
8.2 쇼어의 인수분해 알고리듬
8.2.1 양자적 핵심
8.2.2 측정된 값에서 주기를 고전적으로 추출하기
8.3 쇼어 알고리듬을 설명하는 예제
8.4 쇼어 알고리듬의 효율
8.5 내부 측정의 생략
8.6 일반화
8.6.1 이산 로그 문제
8.6.2 숨은 부분군 문제
8.7 참고문헌
8.8 연습 문제
9장 그로버 알고리듬과 일반화
9.1 그로버 알고리듬
9.1.1 개괄
9.1.2 준비
9.1.3 반복 단계
9.1.4 반복 횟수는?
9.2 진폭 증폭
9.2.1 진폭 증폭의 기하학적 해석
9.3 그로버 알고리듬의 최적성
9.3.1 3개의 부등식으로 축약
9.3.2 세 부등식의 증명
9.4 그로버 알고리듬과 진폭 증폭의 비무작위화
9.4.1 접근법 1: 각 단계 고치기
9.4.2 접근법 2: 마지막 단계만 고치기
9.5 답의 개수를 모를 때
9.5.1 반복 횟수가 변하는 경우
9.5.2 양자 계수
9.6 그로버 알고리듬과 진폭 증폭의 현실적 의미
9.7 참고문헌
9.8 연습 문제


3부. 얽힌 부분계와 강건한 양자계산


10장 양자 부분계와 얽힌 상태의 성질
10.1 양자 부분계와 섞인 상태
10.1.1 밀도연산자
10.1.2 밀도연산자의 성질
10.1.3 섞인 단일 큐비트 상태의 기하학
10.1.4 폰 노이만 엔트로피
10.2 얽힌 상태의 분류
10.2.1 이분할 양자계
10.2.2 LOCC 등가성으로 이분할 순수 상태 분류하기
10.2.3 이분할 섞인 상태의 얽힘 정량화하기
10.2.4 다분할 얽힘
10.3 측정에 대한 밀도연산자 형식 체계
10.3.1 밀도연산자의 측정
10.4 양자 부분계의 변환과 결어긋남
10.4.1 초연산자
10.4.2 연산자 합 분해
10.4.3 양자 상태 변환과 측정 사이의 관계
10.4.4 결어긋남
10.5 참고문헌
10.6 연습 문제
11장 양자오류보정
11.1 양자오류보정 부호의 세 가지 간단한 사례
11.1.1 단일 비트 뒤집힘 오류를 바로잡는 양자 부호
11.1.2 단일 큐비트 위상 뒤집힘 오류에 대한 부호
11.1.3 모든 단일 큐비트 오류에 대한 부호
11.2 양자오류보정 부호에 대한 작업 틀
11.2.1 고전 오류보정 부호
11.2.2 양자오류보정 부호
11.2.3 고전 부호에 대해 바로잡을 수 있는 오류집합
11.2.4 양자 부호에 대해 바로잡을 수 있는 오류집합
11.2.5 고전 부호를 사용한 오류 바로잡기
11.2.6 양자부호를 사용해 오류 진단하고 바로잡기
11.2.7 다중 블록을 통한 양자오류보정
11.2.8 부호화된 양자 상태로 계산하기
11.2.9 바로잡을 수 있는 오류의 중첩과 섞임 상태는 바로잡을 수 있다
11.2.10 고전적인 독립 오류모형
11.2.11 양자 독립 오류모형
11.3 CSS 부호
11.3.1 쌍대 고전 부호
11.3.2 쌍대 조건을 만족하는 고전 부호에서 CSS 부호의 구성
11.3.3 스테인 부호
11.4 안정자 부호
11.4.1 양자오류보정에 대한 이진 관측가능량
11.4.2 양자오류보정에 대한 파울리 관측가능량
11.4.3 오류의 진단과 바로잡기
11.4.4 부호화된 안정자 상태에 대한 계산
11.5 안정자 부호로서의 CSS 부호
11.6 참고문헌
11.7 연습 문제


12장 결함 내성 및 강건한 양자계산
12.1 강건한 양자계산을 위한 무대 준비
12.2 스테인 부호를 사용한 결함내성 계산
12.2.1 징훗값 계산 문제
12.2.2 결함내성 징훗값 추출과 오류보정
12.2.3 스테인 부호에 대한 결함내성 게이트
12.2.4 결함내성 측정
12.2.5 |?π/4〉의 결함내성적 상태 준비
12.3 강건한 양자계산
12.3.1 이어 붙이기 부호화
12.3.2 문턱값 정리
12.4 참고문헌
12.5 연습 문제


13장 양자정보처리 더 알아보기
13.1 양자 알고리듬 더 보기
13.2 양자계산의 한계
13.3 강건한 양자계산을 위한 더 많은 기법들
13.4 양자계산의 회로 모형의 대안
13.4.1 측정 기반 클러스터 상태 양자계산
13.4.2 단열적 양자계산
13.4.3 홀로노미 양자계산
13.4.4 위상학적 양자계산
13.5 고전계산에 대한 시사점
13.6 양자 컴퓨터 만들기
13.7 양자계 시뮬레이션
13.8 양자계산 능력은 어디서 오는가?
13.9 양자역학이 그렇게 정확하지 않다면 어떻게 되는가?

부록 A 양자역학과 확률론 사이의 몇 가지 관계
부록 B 숨은 가환 부분군 문제의 풀이법

엘레노어 리에펠 (Eleanor Rieffel)
NASA 에임스 연구 센터(Ames Research Center)의 연구원이다.