복잡계 네트워크의 자연법칙(데이터 과학)

◈ 내용 소개 ◈

1. 기초 이론과 그래프의 언어 (1-4장): 통계역학의 렌즈로 네트워크를 보다

네트워크 과학의 출발점은 통계적 앙상블 개념이다. 무작위 그래프란 개별 그래프의 집합이 아니라 확률 분포를 가진 통계적 앙상블이며, 이를 통해 물리학의 평형 이론을 네트워크에 적용할 수 있다.

이 부분에서는 에르되시-레니 그래프에서 시작하여 임의의 링크수 분포를 가진 구조 모형까지, 평형 네트워크의 기본 개념과 좁은 세상 현상, 그래프 표현 방법, 인접 행렬과 라플라스 행렬의 스펙트럼 이론을 다룬다. 또한, 연결된 거대 덩어리의 탄생은 연속 상전이로 나타나며, 이 임계 현상의 배후에는 링크수 분포와 평균 가지치기 정도라는 핵심 매개변수가 자리한다는 것을 알아본다.

2. 성장, 붕괴, 그리고 확산 (5-8장): 시간의 흐름 속에서 네트워크는 어떻게 진화하는가

실제 네트워크는 정적이지 않으며, 선호적 연결 메커니즘을 통해 성장하는 네트워크는 거듭제곱 법칙을 따르는 척도 없는 구조를 만들어낸다. 연결된 덩어리와 k-코어 분석은 네트워크의 견고성과 취약성을 드러내며, 혼합 상전이라는 극적인 붕괴 현상도 가능하다.

이 외에도 감염병 확산, 소문 전파, 의견 형성 등 네트워크 위에서 벌어지는 동적 과정들은 SIS, SIR 모형과 같은 수리적 틀로 정밀하게 분석할 수 있다. 나아가 다층 네트워크와 상호 의존적 네트워크는 현대 인프라의 복잡한 상호작용을 이해하는 열쇠가 될 것이다.

3. 숨겨진 구조를 찾아서 (9-14장): 스펙트럼 이론에서 커뮤니티 탐지, 그리고 미래로

네트워크의 깊은 구조는 행렬의 스펙트럼에 숨어 있다. 라플라스 행렬과 역추적불가 행렬의 고윳값 분석은 확산 과정, 마구 걷기, 국소화 현상을 설명하며, 커뮤니티 구조를 찾아내는 스펙트럼 뭉치기 알고리듬의 토대가 된다.

게다가 시간적 네트워크는 에지가 시간에 따라 변하는 동적 시스템을 다루고, 이징 모형과 구라모토 모형은 네트워크 위에서 협력과 동기화 현상을 탐구한다. 감염병의 근원을 추적하고 잃어버린 연결을 복원하는 추론 문제까지, 이 책은 네트워크 과학의 현재와 앞으로 나아갈 방향을 제시한다.


◈ 옮긴이의 말 ◈

한국에서 연구자이자 교육자로서 학생들을 가르치며 한국어로 된 지식을 세상에 남기는 것의 중요성을 몸소 체험하고 있는 네트워크 과학자들이 의기투합하여, 네트워크 과학 분야의 영문 교재들을 번역하다 보니, 어느새 네 번째가 되었습니다. 책이 거듭되면서 새삼 느끼는 것이지만, 네트워크 과학 분야 교재의 형식은 이 분야의 학제 간 연구 특성만큼이나 다양합니다. 저자에 따라서 정말 다양한 깊이, 너비, 강조점을 갖고 있으며, 그것이 저희가 한두 권의 교재를 번역한 후 멈추지 않았던 이유이기도 합니다.

이 책의 저자인 세르게이 도로고프체프와 주제 멘데스는 21세기 시작 무렵 네트워크 과학 분야 연구에 뛰어든 대표적인 통계물리학자입니다. 이들은 특히 통계물리학 관점으로 바라본 네트워크 과학 발전의 태동기를 대표하는 총설논문들 중 하나인 '네트워크의 진화(Evolution of networks)'(Advances in Physics 51, 1079-1187, 2002)를 2002년에 출판했을 뿐만 아니라, 물리학 분야에서는 가장 먼저 단행본 형태로 된 네트워크 과학 전문서적인 『Evolution of Networks: From Biological Nets to the Internet and the WWW』(Oxford University Press, 2003)를 2003년에 출판한 바 있습니다. 즉, 저자 입장에서 이 책은 네트워크 과학에 대해 두 번째로 쓴 전문서적인 셈인데, 이것을 그 이전 책의 2판으로 내놓은 것이 아니라 완전히 새로운 책으로 낸 이유는 이 분야의 지난 20여 년간의 발전이 그야말로 상전벽해(桑田碧海)이기 때문입니다. 그리고 그러한 변화의 중심에는, 원래 있었던 개념들을 기반으로 '빅데이터와 머신러닝 시대'에 걸맞게 훨씬 더 자세하고 대규모의 네트워크 데이터를 새로운 계산과학 패러다임으로 접근하게 된 것 외에도, 네트워크를 이루는 수학적인 기본 개념부터 더 자세히 뜯어보고 면밀하게 연구하는 데 앞장선 통계물리학자들도 있습니다. 2023년 현재 네트워크 과학자를 굳이 그렇게 두 분류로 나눈다면 이 책의 저자들은 후자에 속한 그룹의 가장 대표적인 학자들이며, 이 책에서 그러한 관점의 진수(眞髓)를 배울 수 있을 것입니다.

이 책은 통계물리학의 기본 정신이라고 할 수 있는, 자연에서 고립되지 않은 계의 관찰 결과들은 눈에 보이는 것이 전부가 아니라 가능한 수많은 상태들 중 하나라는 것, 그리고 데이터에서 과학적 원리를 알아내는 과정에는 반드시 그 수많은 상태 중 왜 하필 가장 있을 법한 것이 관찰 결과로 나타나는지를 알아내는 과정이 있어야 한다는 철학 위에 새겨진 책입니다. 따라서 이러한 철학에 익숙하지 않은 독자들은, 저희가 앞서 번역한 세 권의 책에 비해 이 책을 다소 딱딱하게 느낄 수도 있으리라 생각합니다. 하지만 이 책에서 소개하는 방식의 접근을 온전히 흡수한다면, 자성체의 미시적 구조나 기체 분자보다는 훨씬 직관적으로 이해하기 쉬울 수 있는 네트워크라는 대상의 도움을 받아 통계물리학적 접근법에 익숙해지는 첩경(捷徑)이 될 수도 있을 것입니다. 번역을 하면서, 지금 하는 일은 영어를 한국어로 번역하는 것뿐만이 아니라, 네트워크 과학 언어와 통계물리학 언어 사이에서 번역을 하고 있기도 한 것임을 깨달았습니다.

감사하게도, 저자 중 한 명인 주제 멘데스 교수께서 2022년 9월 서울 고등과학원(KIAS)에서 열린 '고등과학원 국제 워크숍: 네트워크 과학 분야에서의 이론적 도전(KIAS International Workshop: Theoretical challenges in network science)'이라는 학회에 참석하셨을 때 역자 팀을 만나서 번역 작업을 격려해 주셨고, 특별히 7쪽에 번역해서 실은 한국어판 독자들에게 전하는 친필 메시지도 전했습니다. 기술적이고 전문적인 부분이 많은 교재 형식의 글이 많은 언어로 번역되기는 쉽지 않은 일이기에, 저자에게 한국어판 번역 소식을 알린 것은 다음의 메시지를 전달하는 의미이기도 했습니다. 한국에도 이 분야를 연구하는 연구자들이 많이 생겨서 번역 작업을 계속 하고 있으며, 무엇보다 이 책의 주요 독자들이라고 할 수 있는 후속 세대가 학문적으로 성장하고 있다는 것! 모쪼록 그 길에 이 책이 좋은 길잡이가 되었으면 하는, 모든 역자의 공통된 바람을 '연결하여' 모든 분의 미래를 응원합니다.

제1장 첫 통찰
1.1 무작위계에 대한 통계역학적 관점
1.2 네트워크의 역사
1.3 좁은 세상과 넓은 세상
1.4 네트워크의 첫 번째 구조적 특성
1.5 평형 트리 대 성장하는 트리
1.6 실제 세상 네트워크

제2장 그래프
2.1 그래프의 종류
2.2 그래프 구현성
2.3 그래프 표현하기
2.3.1 입사 행렬
2.3.2 인접 행렬
2.3.3 라플라스 행렬
2.4 걸음, 경로, 순환
2.5 삼각형
2.6 클리크
2.7 사이 중심도
2.8 연결도
2.9 그래프의 스펙트럼
2.9.1 인접 행렬의 스펙트럼
2.9.2 라플라스 행렬의 스펙트럼
2.9.3 정규화된 라플라스 행렬의 스펙트럼

제3장 고전적인 무작위 그래프
3.1 G (N, p) 모형
3.2 에르되시-레니 모형
3.3 순환과 뭉침
3.4 연결된 거대 덩어리
3.5 유한한 연결된 덩어리

제4장 평형 네트워크
4.1 구조 모형
4.2 국소적 트리 유사성
4.3 최대한 무작위적인 네트워크 생성하기
4.4 숨은 변수
4.5 담금질된 네트워크와 그래폰
4.6 뭉침, 순환, 클리크
4.7 상관관계
4.7.1 결합 링크수-링크수 상관관계
4.7.2 피어슨 상관 계수
4.7.3 가지내기 행렬
4.8 컷오프와 부자 클럽 현상
4.9 네트워크 모티프
4.10 평형 네트워크 앙상블
4.11 삼각형 구조
4.12 가중치 네트워크
4.12.1 약한 유대의 힘
4.13 무작위 기하학적 그래프
4.14 좁은 세상 네트워크
4.15 거리 공간에 임베딩한 네트워크

제5장 진화하는 네트워크
5.1 무작위 재귀 트리
5.2 선호적 연결
5.2.1 선형 선호적 연결
5.2.2 연속체 접근법
5.2.3 지름
5.2.4 순환의 개수
5.2.5 링크수-링크수 상관관계
5.2.6 비선형 선호적 연결
5.3 선호적 연결의 기원
5.4 응집 현상
5.4.1 불균일한 선호도 함수
5.4.2 응집
5.5 베레진스키-코스털리츠-사울리스(BKT) 전이
5.6 가속하는 성장과 조밀화
5.7 조밀한 네트워크에서의 전이
5.8 성장과 감소
5.9 선택의 위력
5.10 진화하는 가중치 네트워크
5.11 링크수를 보존하는 진화
5.12 단체 복합체의 진화
5.13 결정된 그래프

제6장 연결된 덩어리
6.1 연결된 거대 덩어리
6.2 격자점 스미기와 결합선 스미기
6.3 메시지 전달
6.3.1 스미기 문턱값
6.3.2 역추적불가 전개
6.3.3 메시지 전달 사용하기
6.4 트리 유사성 너머
6.5 방향성 있는 네트워크의 나비 넥타이 구조
6.6 유한한 연결된 덩어리
6.7 k -코어
6.7.1 혼합 전이
6.7.2 코로나
6.7.3 불균일한 k -코어
6.8 가지치기의 동역학
6.9 가중치 있는 네트워크에서의 s -코어
6.10 k -연결된 덩어리
6.11 상관관계가 있는 네트워크의 거대 덩어리
6.12 k -클리크 스미기
6.13 폭발적인 스미기
6.14 유한한 네트워크에서 가장 큰 덩어리
6.15 코어와 제어 가능도

제7장 감염병과 확산 현상
7.1 부트스트랩 스미기
7.2 와츠 모형
7.3 주요 감염병 모형들
7.4 SIS 모형과 접촉 과정
7.4.1 완전히 연결된 그래프 위 SIS 모형
7.4.2 불균일 평균장 근사
7.4.3 고정된 평균장 근사
7.5 SIR, SI, SIRS 모형
7.6 감염병 발병
7.7 이소개체군 감염병 모형
7.8 소문의 확산
7.9 의견 형성: 투표자 모형
7.10 밈의 확산

제8장 네트워크의 네트워크
8.1 다른 종류의 노드와 에지가 있는 네트워크
8.2 상호 연결된 덩어리
8.2.1 방향성 멀티플렉스 네트워크
8.2.2 겹쳐진 에지
8.2.3 유한한 멀티플렉스
8.2.4 멀티플렉스와 일반적인 상호 의존적 네트워크 사이의 관계
8.3 사태와 연쇄 장애
8.4 그 밖의 스미기 문제
8.4.1 상호 연결된 부수적 덩어리
8.4.2 약하게 연결된 스미기
8.5 다층 네트워크의 동적 시스템

제9장 스펙트럼과 커뮤니티
9.1 인접 행렬의 스펙트럼
9.2 라플라스 행렬의 스펙트럼
9.2.1 확산
9.2.2 마구 걷기
9.2.3 스펙트럼 간격과 지름
9.2.4 라플라스 행렬의 가장 큰 고윳값
9.2.5 스펙트럼 밀도
9.3 국소화
9.3.1 역추적불가 중심도
9.4 확률 기반 블록 모형
9.5 모듈도
9.5.1 해상도 한계
9.6 커뮤니티 찾기
9.6.1 모듈도 최적화
9.6.2 스펙트럼 뭉치기
9.6.3 구분 가능 문턱값
9.6.4 역추적불가 행렬을 사용한 스펙트럼 뭉치기
9.6.5 그 밖의 알고리듬
9.7 중첩된 커뮤니티

제10장 걷기와 탐색
10.1 네트워크의 확산과 마구 걷기
10.1.1 기본 시간
10.1.2 마구 걷기 중심도
10.1.3 복귀 확률
10.1.4 치우친 마구 걷기
10.2 탐욕 라우팅
10.3 탐색 가능성
10.4 구글 페이지랭크

제11장 시간적 네트워크
11.1 시간적 네트워크의 개념
11.2 시간적 네트워크에서의 마구 걷기
11.3 질병 전파

제12장 네트워크 위의 협력적 시스템
12.1 이징 모형
12.2 임계 현상
12.3 네트워크 위에서의 게임
12.4 위상 동기화
12.4.1 균일한 구라모토 모형
12.4.2 복잡계 네트워크 위에서의 구라모토 모형

제13장 추론과 재구성
13.1 자라나는 트리의 근원 찾기
13.2 잃어버린 연결 찾기

제14장 다음은 무엇인가?

더 읽을거리

부록 A 하이퍼그래프의 인접 행렬
부록 B 표본 그래프의 대칭적인 정규화 라플라스 스펙트럼
부록 C 생성 함수
부록 D 스미기의 초스케일링 관계
부록 E 손상된 네트워크의 링크수 분포
부록 F 역추적불가 행렬
부록 G 일반적인 상호 의존적 네트워크 다루기

세르게이 N. 도로고프체프 (Sergey N. Dorogovtsev)

국립레닌그라드대학교(Leningrad State University)(현재는 국립상트페테르부르크대학교)에서 이론물리학 전공으로 졸업했다. 러시아 상트페테르부르크의 이오페 물리기술연구소(Ioffe Physical-Technical Institute)에서 박사 학위를 받았고 동 연구소와 포르투대학교(University of Porto)에서 연구원을 역임했다. 현재는 포르투갈의 아베이루대학교(University of Aveiro)에서 선임 과학자로 재직 중이다. 복잡계 네트워크의 통계역학과 무질서계의 임계 현상에 대한 많은 결과를 발표했다.