클레로 기하학원론(하)

클레로의 기하학 원론의 출발은 유클리드 원론의 논리-연역적 전개 방식이 초보자에게 부과하는 어려움과 무미건조함에 대한 비판에서 비롯된다. 클레로 이전에도 유클리드의 연역적인 방법에 맞서 분석적 발생적 원리에 입각한 대안적 접근이 있어왔지만, 수학사를 근거로 하여 학습 내용과 활동을 조직하는 역사발생적 원리를 구현한 최초의 기하 교재라는 점에서 이 책은 수학교육학적으로 의의를 지닌다. 또한 유클리드의 원론에 가해진 수많은 비판에도 불구하고 수학사 및 학교 수학에서 차지하는 유클리드의 위상을 고려할 때 이 책은 수학에 관심 있는 사람들의 지적 호기심을 자극하기에 충분할 것이다.

이 책의 저자 연혁으로부터 추측할 수 있듯이, 클레로는 이렇듯 의미 있는 책을 저술하기에 충분한 천부적인 능력을 지녔고 그가 책을 저술한 의도는 기존 기하 교재의 전개 방식을 문제시하여 그에 대한 대안을 마련하고자 한 것이었다. 그가 기존 기하 교재에 가한 비판은 크게 두 가지로 볼 수 있다. 하나는 유클리드 기하에 대한 것으로, 유클리드 기하의 논리-연역적인 전개 방법은 무미건조하고 학습자를 질리게 만들기 때문에 배우기 어렵다는 것이다. 다른 하나는 명제를 제시한 후 그 명제의 응용을 다룸으로써 기하의 유용성을 통해 유클리드의 전개 방식을 개선하려는 노력에 대한 것으로, 이

경우 역시 정리가 응용에 선행하므로 정신이 학습의 무미건조함을 참아내는 고통을 겪은 후에야 응용을 통해서 의미를 파악할 수 있으므로 역시 어렵다는 것이다. 이에 대한 대안을 마련하기 위해 클레로는 수학사에서 첫 발견이 이루어진 당시 발견자들 자신이 바로 초보자였다는 사실에 주목하였다. 그들이 경험한 방식대로 토지 측량이라는 필요에 의해 시작하고 점차적으로 형식화한다는 수학의 전개 방식이 훗날의 초보자인 수학 학습자에게도 흥미를 유발시키는 자연스러운 학습 전개라는 것이다. 즉 인간의 정신에 자연스럽도록 한다는 대원칙 하에 학습자를 위한 최선의 수학 학습법을 수학의 역사에서 찾은 것이다.

중학교 수학과 교육과정의 기하 영역에서 증명에 대해 의미 충실한 학습이 이루어지지 않고 암기에 의존하는 교실 현장을 고려하여 연역적 논증 외에 직관에 기초한 다양한 정당화 방법을 추구하는 방향으로 변화가 있었다. 한편으로는 고등학교 선택 교과와 관련하여 기하 교육의 약화를 우려하는 목소리도 크다. 수학에서 기하가 차지하는 중요성 및 위상을 고려할 때 바람직한 기하 교육의 방법에 대한 논의가 필수인 시점에서, 기하를 어려워하는 수학 교실의 초보자들을 생각할 때 클레로의 의도가 그들에게 의미 있고 자연스러운 수학적 전개를 위해 시사하는 바가 있을 것으로 기대한다. 특히 클레로의 대안적 접근이 지닌 '역동성'이 저자의 당시 시대에는 구현되기 어려웠을지 몰라도 역동적 기하 소프트웨어(Dynamic Geometry Software)와 같은 공학 도구의 활용이 활성화된 오늘날의 수학 교실에서는 그 위력을 발휘하기에 부족함이 없을 것으로 생각한다.

이 번역서의 원서는 1741 초판본의 1765년도 개정판을 '과학적 사고의 거장' 전집 중 하나로 Gauthier-Villars et Cle, Editeurs에서 1920년에 재발행한 것으로, 원제는 Elemens de Geometrie이다. 두 권의 책(I권 1,2부와 II권 3,4부)으로 되어있고, 본 번역서 역시 두 권의 책에 각각 1, 2장과 3, 4장으로 구성하였다. 1장에서는 토지의 측량 방법, 2장에서는 다각형을 비교하는 기하학적인 방법, 3장에서는 원형 도형의 측정과 성질, 4장에서는 입체의 측정 방법을 다루고 있다. 가능한 원문에 충실하게 번역하였고, 어휘나 단위 등에 있어 오늘날과 다른 시대적 괴리가 있는 부분에 대해서는 각주를 달아 설명하였다. 본 번역서에 담긴 각주는 모두 역자 주에 해당함을 밝힌다.

프랑스어로 저술된 클레로의 기하학 원론을 처음 접한 지 15년이 흘렀고, 첫 번역서가 나온 것도 13년 전의 일이다. 그동안 역자를 비롯한 많은 수학교육자들이 이 책에 흥미를 가졌고, 클레로의 기하 접근에 기초한 기하 교수?학습에 대해 꾸준히 연구를 해왔다. 이제 시간이 흘러 책을 더 이상 구할 수 없는 몇몇 동료들의 요청이 있어 이 책을 새롭게 펴내고자 한다. 책의 출판에 대한 적극적인 제안과 함께 편집을 더욱 가독성 있게 구성해주신 지오북스의 김남우 대표님과 편집부 여러분께 감사드린다. 또한 기하책이 지닌 그림의 중요성을 생각할 때 그림 작업에 힘써주신 한국지오지브라연구소의 최경식 선생님과 장윤정 선생님께 깊은 감사를 전한다.



2018. 가을. 장혜원

목차 Preview



Chapter 3

원형 도형의 측정과 그 성질에 대하여



Chapter 4

입체와 그 표면을 측정하는 방법에 대하여

Alexis Claude Clairaut