알지오매스(Algeomath) 2: 블록코딩 모델링(따라하며 배우는)

컴퓨터를 교육, 특히 수학교육에 적용하려고 한 시도의 처음으로는 Seymour Papert(1928~ 2016)의 LOGO 언어를 꼽는 것이 합당할 것 같다. LOGO는 거북이라는 대상이 Forward, Rotate1라는 명령에 따라 평면에 그림을 그리도록 하는 컴퓨터 언어이다. 순수한 LOGO 언어에 대하여는 많은 사람들의 관심이 멀어졌지만 사실 그 명맥은 스크래치(Scratch)를

개발한 Mitchel Resnick에게로 이어져 현재까지도 Papert의 강력한 아이디어(Powerful idea)는 이 시대의 교육에 영향을 미치고 있다. 동적 기하의 개념을 처음으로 구현했다고 볼 수 있는 Cabri 소프트웨어는 Pierre Laborde에 의해서 개발되었는데 과거를 돌아볼 때 동적 기하 소프트웨어로서 시대의 획을 긋는 GSP(Geometer's Sketchpad), Cinderella, 지오지브라(GeoGebra)는 사실상 그의 아이디어를 창발적으로 발전시켜 온 것이며 동적 수학 소프트웨어2는 현재의 교실 수학에 있어 상당한 비중을 차지하고 있다. 클레로3의 기하학 원론을 동적으로 설명하고자 했던 혁명적인 시도는 현재의 교실 수학에서 현실화 되었다고 볼 수 있다는 것이다.

필자는 앞에서 제시한 LOGO와 동적 기하 소프트웨어에 대한 설명이 이 책을 위해서는 반드시 필요하다고 생각한다. 이 책은 한국과학창의재단과 17개 교육청의 힘을 합쳐 개발한 알지오매스(AlgeoMath) 소프트웨어에 대하여 소개한다. 알지오매스(AlgeoMath)는 대수(Algebra) 부터 기하(Geometry) 까지 수학의 각 교육영역에서 활용될 수 있도록

개발된 소프트웨어이다. 기존의 동적 기하 소프트웨어(Dynamic Geometry Software)와 컴퓨터 대수 시스템(Computer Algebra System), 그리고 블록 코딩(Block coding)의 기능이 하나로 융합되어 이와 같은 혁신적인 교육용 소프트웨어가 탄생하였다.

현재 우리나라 학교 현장의 많은 사람들은 아직까지도 공학적 도구 활용에 있어서는 보수적인 견해를 취하고 있는 경우가 많다. 미국이나 유럽과는 달리 공학용 계산기 사용에 있어서조차 교사, 학부모, 심지어 학생조차도 그 시각에 있어 너그럽지 못하다. 이러한 시점에 우리 모두는 자신에게 하나의 화두를 던져 계속해서 질문해야 한다.

"과연 수학이란 무엇이며 이것은 나의 삶에 어떤 의미가 있는가?"이 질문이 해결된다면 수학을 왜 공부하는 것이며, 어떻게 공부해야 하는지 모두들 깨닫게 될 것이다. 수학을 하는 활동은 창조를 자극할 수 있으며 이를 통해 생각하는 힘을 기를 수 있는 것이다. 단지 시험 문제로 출제된 특이한 한 문제의 정답을 맞히는 것보다 그 문제의 아이디어를 깊이있게 이해하고 다양하게 변형해 보면서 스스로의 것으로 삼고 그 안에서 '내적인 기쁨과 충만함'을 얻어야 하는 것이다. 사실 모두들 이에 대하여 동의는 하지만 '현실적인 문제' 에 의하여 시험에 출제된 문항의 정답을 찾는데 상당한 시간의 노력을 들이고 있다.

필자는 이제 이와 같은 방식의 수학 공부에는 변화가 있어야 한다고 생각하며 이를 위해서는 학습자의 사고를 돕는, 학습자의 강력한 아이디어(Powerful idea)를 불러일으키는 도구가 필요하다고 믿는다. 그리고 이러한 도구로 알지오매스(AlgeoMath)가 잘 활용될 수 있으리라 믿는다.

알지오매스(AlgeoMath)의 개발에 대하여 들으며 필자는 동적 수학의 발전하는 과정을 '거의 처음'부터 현재까지 곁에서 지켜볼 수 있었던 축복을 누린 것에 감사하였다. 역사의 변화 가운데 서 있기는 쉽지 않지만 필자는 GSP 소프트웨어가 우리나라에 활발히 보급되는 순간부터 인터넷이 급속도로 퍼지면서 이를 통해 수학 교육이 큰 변화를 겪을 것이라고

예견하는 여러 현명한 학자들의 이야기를 들으며 성장하였다. 이후 스마트폰이 보편화되면서 개인의 모바일 장치로 손쉽게 동적 수학을 하기에 이르렀다. 약 20여년 전의 예언이 이 시대의 대가(大家)들에 의해서 성취되는 것을 지켜보는 것만으로도 필자는 영광이라고 생각한다.

필자도 이와 같은 발전에 작은 도움이 되고자 이 책을 집필하게 되었다. 이 책은 따라하며 배우는 알지오매스 1권의 내용에서 다룰 수 없었던 구체적인 모델링 예제를 다루고 있다.

화면에서 점을 이동시키기 위해서는 점의 좌표를 적절히 매개변수로 표현해야 하는데이책에서는 점을 원운동시키기 위한 매개변수 표현, 선대칭, 점대칭, 반사 등에 대하여 설명하고 있다. 반사 부분에서 블록 코딩으로 설명하기 어려운 부분은 알지오매스의 동적 기하를 이용하여 설명하였다.4 이후에는 앞에서 다룬 매개변수 표현을 활용하여 태양계와 사이클로이드 모델링을 블록 코딩을 이용하여 만드는 예제를 다루고 있다.

독자 여러분이 이 책과 알지오매스(AlgeoMath)를 통하여 수학을 하는 기쁨을 충만히 누리기를 기원한다.



2018년 12월 21일

최 경 식

머리말 iii

일러두기 v

차 례 vii



제 I 편 알지오매스 1

제 1 장 알지오매스 3

1.1 알지오매스 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 알지오매스의 사용방법 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 회원 가입 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6



제 II 편 원운동, 대칭, 반사 9

제 2 장 원운동 11

2.1 블록 코딩을 이용하여 원운동 표현하기 . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

제 3 장 대칭 15

3.1 선대칭 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 점대칭 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

제 4 장 반사 21

4.1 빛의 반사 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.2 동적 기하를 이용하여 빛의 반사경로 찾기 . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.2.1 평면 거울 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.2.2 곡면 거울 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2.3 타원면 거울 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2.4 포물면 거울 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.3 실생활 적용 사례 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37



제 III 편 모델링 예제 - 태양계, 사이클로이드 41

제 5 장 태양계 모델링 43

5.1 태양계 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.2 태양계 모델링 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

제 6 장 사이클로이드 모델링 51

6.1 사이클로이드 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

제 7 장 벽에 기대어 놓은 사다리 모델링 57

7.1 벽에 기대어 놓은 사다리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57



제 IV 편 참고자료 61

제 8 장 알지오매스 온라인 커뮤니티 63

8.1 알지오매스 공식 카페 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

8.2 지오지브라+알지오매스 커뮤니티 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

8.2.1 지오지브라+알지오매스 카페 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

8.2.2 지오지브라+알지오매스 밴드 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

제 9 장 알지오매스 도구 및 환경 67

9.1 선택 도구상자 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

9.2 점 도구상자 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

9.3 선분 도구상자 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

9.4 원 도구상자 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

9.5 다각형 도구상자 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

9.6 길이 도구상자 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

9.7 꾸미기 도구상자 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

9.8 메인 메뉴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

9.9 대수창 예시 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

9.10 기하창 아이콘 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

9.11 키보드 예시 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

9.12 블록 코딩 실행버튼 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72



찾아보기 73

최경식