로스의 해석학원론

이 ≪해석학 원론≫은 케니스 로스(Kenneth Ross)의 ≪Elementary Analysis≫ 제2판을 옮긴 것이다. 부제는 미적분학 이론(The Theory of Calculus)이다. 고등학교와 대학 교양 과정의 미적분학에서 제대로 증명하지 않고 제시된 여러 가지 계산 방법과 주요한 정리들의 기저를 이루는 이론을 제공한다. 이에 따라 이 책은 대학의 수학과, 수학교육학과, 응용수학과 따위에서 통상 전공 필수 과목으로 개설하는 과목 ‘해석학’ 또는 ‘해석개론’을 위한 교재 이며, 통상 ‘실 해석학 개론’이라는 이름을 가진 책과 같은 수준이다. 지은이 머리말에서 밝힌 대로, 이 책은 초판이 발행되고 30년 이상 이런 과목의 성공적인 교재로 널리 사용됐는데, 제2판은 초판을 보완해서 교재로서의 완성도를 높이고 교육적으로 더 큰 효과를 꾀하고 있다.
이 책은 기존의 실 해석학 교재들과 구별되는 점이 많이 있다. 우선, 주요 개념을 통상적 이지 않은 방법으로 도입하고 전개하기도 한다. 볼차노ㆍ바이어슈트라스의 정리의 증명은 수열을 이용하고 실수 전체의 집합 ?의 닫힌 부분집합도 수열을 이용해서 정의함으로써, ?에서 추상적인 위상 개념의 도입을 피하고 있다.
이 책에서는 새로운 이론을 도입해서 전개하기도 한다. 리만ㆍ스틸체스 적분에서는 어느 책에서도 볼 수 없는 정의를 도입해서, 훨씬 더 일반적인 이론을 전개한다. 그러면서도 자연 스러운 결과를 얻는다. 지은이는 자신과 다른 이들의 최신 연구 결과를 적극적으로 활용해서실 해석학 교육에 새로운 표준을 제시하려고 시도하는 것으로 보인다.
특히, 이 책에서는 의미 있는 학습을 강조하는 것으로 보인다. 새로운 개념을 도입할 때는 충실한 사전 설명을 통해 확실하게 동기를 부여하고 있다. 제시할 정리의 의미와 중요성을 미리 언급하고 그런 정리를 얻게 된 과정을 미리 설명하기도 한다. 학습한 결과의 활용도 빠짐없이 제시하고 있다.
심화 학습을 위한 주제들도 *로 표시한 절에서 다루고 있다. 이를테면 거리 공간이 주제인세 개의 이런 심화 절이 있는데, 거리 공간에서의 위상 개념들도 충실하게 소개하고 있다. 이런 내용은 그 뒤에 나오는 주제들을 심도 있게 학습하는 데 도움을 줄 수 있고, 수학의 다른 분야도 통합적으로 이해할 수 있도록 한다.
이렇듯이 이 책에서는 해석학의 많은 주제와 내용을 다루고 있지만, 분량은 많지 않은 편이다. 지은이 머리말에서 밝혔듯이, 이 책의 앞쪽에서는 증명을 매우 자세하게 제시하지만, 뒤쪽으로 갈수록 증명이 간략해지기도 하고 생략하기도 한다. 통상 정리로 제시하는 결과를 익힘 문제로 넘기는 경우도 많이 있다. 이에 따라 해석학을 처음 배우는 초심자가 이 책의 모든 내용을 완전히 학습하기가 부담스러울 수 있다. 이런 경우에는 주어진 결과들을 받아들 이고 그 내용을 숙지하는 데 초점을 맞추는 것이 좋을 것으로 보인다. 해석학의 다른 과목들과 위상 수학을 배운 뒤에는, 이 책이 해석학을 전체적으로 조망하고 정리하기에 더없이 좋은 학습 도구가 될 것으로 보인다.