수학교사를 위한 현대대수학

대수학이란 여러 가지 연산들에 대한 대수적 체계(Algebraic Systems)에서 불변인 성질들(Invariants)을 연역적으로 규명하는 학문이라 할 수 있다. 학생들이 현대대수학을 배울 때 어렵게 느끼는 것은 이 학문적 특성에 기인한바 크다고 생각한다.

오랜 기간 대학에서 현대대수학을 강의하면서 명료한 이론 전개와 적절한 예제와 풍부한 연습문제들을 제공하는 잘 정돈된 교재를 구상해 왔다.

최근 김남우 사장으로부터 출판 제의를 받고 기존 강의 해 온 현대대수학의 내용을 군, 환, 체, 3부로 대별하여, 새롭게 수학교사를 위한 현대대수학을 간행하게 되었다.

군 영역에서 중요한 내용은,

부분군의 판정법, 케일리 정리, 동형사상의 정리, 라그랑쥐 정리, 궤도-스테빌라이저 정리, 반직적 정리, 준동형사상에 의한 부분군의 대응규칙, 군 동형사상정리, 유한가환군의 기본정리, 류등식, 실로우정리 등이다.

환 영역에서 중요한 내용은,

부분환의 판정법, 상환의 존재성, 환준동형사상의 성질, 환의 동형정리, 의 나눗셈 알고리즘, 아이센쉬타인 판정법, 에서의 유일인수분해 등이다.

체 영역에서 중요한 내용은,

체이론의 기본정리, 분해체의 존재성, 중복근에 대한 판정법, 유한확대이면 대수적확대이다, 원시근정리, 유한체의 구조, 유한체의 부분체, 작도가능한 수, 갈루아이론의 기본정리, 5차방정정식의 불가해성, 원분다항식의 기약성 등이다.

특별이 이 책에서는 군 영역에서 실로우정리(Sylow Theorems)와 군의 반직적(Semidirect product) 내용과 환 영역에서 유크리드 정역에 대한 보충과 체 영역에서는 작도가능한 수에 대한 필요충분조건과 체의 갈루아정리(Galois Theorem)의 증명과 사례에 대한 논의를 추가했다.

각 장의 연습문제들의 풀이를 알기 쉽게 자세히 정리했으며, 지난 수년간 출제된 중등교사 임용고사 현대대수학 분야의 문제와 그 풀이를 관련 단원의 연습문제에 수록했다.

이 책은 대학에서 두 학기에 걸처 학생들을 가르치면 적절하다고 생각하며, 각장의 연습문제들의 풀이는 다양한 풀이 방법을 논의하는 하나의 참고자료가 되기를 바란다. 또한, 대학원 진학이나 임용고사 준비하는 경우는 각 단원의 정리들과 예제를 중심으로 공부하고 연습문제풀이를 해보기 바란다. 다만 저자의 능력부족으로 미비한 점에 대해서는 독자 여러분들의 제언과 충고에 귀 기울려 더 좋은 책으로 만들어 가려고 한다.

끝으로 이 책의 출판을 위해 힘써 주신 출판사 여러분께 감사하며. 뒤에서 도움을 아끼지 않은 부인 김영희께 감사의 말을 전한다.