대수학의 기본정리

대수학의 기본정리는 임의의 복소 다항식은 복소수 근을 가져야만 한다고 기술한다.
이 기본적인 결과는, 최초로 인정된 증명은 가우스에 의해 주어졌고, 정말로 수론과 방정식들의 이론의 교차점에 놓여있고 또한 수학의 다른 많은 분야에서 발생하였다.
이 책의 목적은 세 개의 서로 다른 수학영역: 추상대수학, 복소수함수론, 위상수학에서 세 가지 쌍들의 정리들에 대한 증명을 조사한 것이다.
각 쌍들의 첫 번째 증명은 상당히 직접적인 기초수학만 고려해서 해볼 수 있는 것들이다. 그렇지만, 이들 첫 번째 증명들 각각은 차례로 기본정리가 한 직접적인 결과로 유도될 수 있도록 더 많은 결과를 끌어내고 그것 자신을 일반화시켜 준다. 이러한 일반화 된 결과들이 각 쌍의 두 번째 증명을 구성하고 있다. 각각의 증명들에 도달하기 위해서, 증명을 이해할 수 있도록 각 관련된 영역이 일반적인 결과들을 충분히 개발되었다. 그것들 자신에서 증명들과 기술들에 추가로, 많은 응용들, 5차방정식의 불가해성과 와 의 초월성이 제공되었다. 마지막으로, 일련의 부록들에서 가우스의 원래의 첫 번째 증명을 포함하여 6가지의 추가적인 증명들을 제공했다.
이 책은 수학전공 학부과정 2~3학년 또는 대학원 1학년 수준으로 의도된 것이다. 그것은 수학 과정의 한 "삿갓돌 capstone"에 대한 이상적이다. 그것은 역시 학부 추상대수학 과정에 한 선택 과정으로 사용될 수도 있을 것이다.
최종적으로, 그것이 폭넓은 주제들이 걸쳐있기 때문에 그것은 역시 수학교사들을 위한 한 대학원 과목으로도 이상적인 것이 될 것이다.

머리말 Preface 7
제1장 도입과 역사적인 언급 Introduction and Historical Remarks 8

제2장 복소수 Complex Numbers
2.1 체와 실수체 Fields and Real Field 12
2.2 복소수 체 The Complex Number Field 19
2.3 복소수의 기하학적 표현 Geometric Representation of Complex Numbers 22
2.4 극형식과 오일러 공식 Polar Form and Euler's Identity 25
2.5 멱과 근에 대한 드 모아브르의 정리 DeMoivre's Theorem for Powers and Roots 28
연습문제 32

제3장 다항식과 복소다항식 Polynomials and Complex Polynomials
3.1 한 체 위에서 다항식의 환 The Ring of Polynomials over a field 34
3.2 다항식의 나눗셈 가능성과 유일인수분해
Divisibility and Unique Factorization of Polynomials 37
3.3 다항식의 근과 인수분해 Roots of Polynomials and Factorization 42
3.4 실 그리고 복소 다항식 Real and Complex Polynomials 45
3.5 첫 번째 대수학의 기본정리
The Fundamental Theorem of AlgebraProof one 49
3.6 기본정리에 대한 약간의 결과
Some Consequences of the Fundamental Theorem 51
연습문제 53

제4장. 복소수 함수론과 해석적 함수 Complex Analysis and Analytic Functions
4.1 복소수 함수들과 해석함수 성질 Complex Functions and Analyticity 56
4.2 코시-리만 방정식 The Cauchy-Riemann Equations 63
4.3 등각사상과 해석함수 Conformal Mappings and Analyticity 70
연습문제 76

제5장. 복소 적분과 코시의 정리 Complex Integration and Cauchy's Theorem
5.1. 선 적분과 그린의 정리 Line Integrals and Green's Theorem 80
5.2 복소 적분과 코시의 정리 Complex Integration and Cauchy's Theorem 92
5.3 코시 적분공식과 코시의 추정값
The Cauchy Integral Formula and Cauchy's Estimate 98
5.4 리우빌의 정리와 대수학의 기본정리 두 번째 증명 Liouville's Theorem and the Fundamental Theorem of Algebra-Proof Two 104
5.5 약간의 추가적인 결과 Some Additional Results 106
5.6 복소함수론에 대한 끝맺는 논평
Concluding Remarks od Complex Analysis 107
연습문제 108

제6장 체와 체의 확대 Fields and Field Extensions
6.1 대수적 체의 확대 Algebraic Field Extensions 110
6.2 체에 첨가하는 근 Adjoining Roots to Fields 119
6.3 분해체 Splitting Fields 124
6.4 치환과 대칭 다항식 Permutations and Symmetric Polynomials 126
6.5 대수학의 기본정리-세 번째 증명
The Fundamental Theorem of Algebra-Proof Three 133
6.6 한 응용-와 의 초월성
An Application-the Transcendence of e and 137
6.7 대칭 다항식의 기본정리
The Fundamental Theory of Symmetric Polynomials 145
연습문제 149

제7장 갈루아 이론 Galois Theory
7.1 갈루아 이론의 개요 Galois Theory Overview 151
7.2 유한군 이론의 약간의 결과 Some Results From Finite Group Theory 152
7.3 갈루아 확대체 Galois Extensions 161
7.4 자기동형사상과 갈루아군 Automorphisms and Galois Group 165
7.5 갈루아 이론의 기본정리 The Fundamental Theorem of Galois Theory 171
7.6 대수학의 기본정리- 네 번째 증명 The Fundamental Theorem of Algebra- Proof Four 177
7.7 갈루아 이론에 대한 약간의 추가적인 응용 Some Additional Applications of Galois Theory 178
7.8 의 대수적 확대체와 결론적인 촌평
Algebraic Extensions of R and Concluding Remarks 186
연습문제 189
제8장 위상과 위상공간 Topology and Topological Space
8.1 회전수와 다섯 번째 증명 Winding Number and Proof Five 192
8.2 위상수학-한 개요 Topology-an Overview 195
8.3 연속성과 거리공간 Continuity and Metric Spaces 197
8.4 위상공간과 위상 동형사상 Topological Spaces and Homeomorphisms 206
8.5 위상공간의 약간의 추가적 성질 Some Further Properties of Topological Spaces 209
연습문제 214

제9장 대수적 위상수학과 마지막 증명 Algebraic Topology and the Final Proof
9.1 대수적 위상수학 Algebraic Topology 217
9.2 약간의 추가적인 군이론- 가환군
Some Further Group Theory- Abelian Groups 219
9.3 호모토피와 기본군 Homotopy and Fundamental Group 226
9.4 호모로지 이론과 삼각형 분할 Homology theory and Triangulations 236
9.5 약간의 호모로지 계산 Some Homolgy Computations 244
9.6 구들의 호모로지와 Brouwer차수 Homology of Spheres and Brouwer Degree 249
9.7 대수학의 기본정리의 여섯 번째 증명 The Fundamental Theorem of Algebra-Proof Six 251
9.8 끝맺는 말 Concluding Remarks 254
연습문제 255

부록 A 가우스의 처음 증명의 한 버젼 A Version of Gauss's Original Proof 257
부록 B 코시의 정리 재고 Cauchy's Theorem Revisted 262
부록 C 대수학의 기본정리의 세 가지 추가적인 복소해석적인 증명 Three Additional Complex Analytic Proofs of the Fundamental Theorem of Algebra
273
부록 D 대수학의 기본정리의 위상적인 두 가지 증명 Tow more Topological Proofs of the Fundamental Theorem of Algebra 278