선형대수 기초 및 응용(알기 쉽게 풀어쓴)

이 책의 특징

① 알기 쉽게 시각적으로 풀어쓴 개념 설명
추상적인 정의와 엄밀한 증명도 직관적 비유와 예시를 통해 쉽게 풀어서 설명하였다. 복잡한 내용을 그림과 도표를 통하여 시각적으로 풀어 서술함으로써 선형대수학을 처음 접하는 독자들도 쉽게 이해할 수 있도록 하였다.
② 풍부한 예제와 실제 응용
각 단원의 예제들은 단순 계산 문제에서부터 실제 공학적 상황을 반영한 문제까지 고르게 배치하여 풀이 과정을 상세히 담았다. 이러한 예제들을 통해 추상적인 이론이 실제 공학 문제 해결에 어떤 역할을 하는지 체감하도록 구성하였다.
③ '여기서 잠깐!'으로 숨 고르기
학습 과정에서 특히 막히기 쉬운 지점을 정확히 짚어 주기 위해 본문 곳곳에 도움 코너를 마련하였다. 앞서 다룬 개념을 다시 정리하거나 자주 혼동되는 부분을 간단히 짚어 주는 '여기서 잠깐!' 코너는 독자가 자연스럽게 다음 단계로 넘어갈 수 있도록 돕는 역할을 한다.
④ 난이도별 연습문제
각 단원 끝에는 기본 개념 확인 문제부터 창의적 사고를 요구하는 심화 문제까지 난이도를 조절해 구성하였다. 모든 문제의 정답은 부록에 수록되어 있다.


이 책의 내용

1장에서는 행렬을 정의하고 행렬에 대한 기본 연산인 덧셈, 스칼라곱, 곱셈에 대하여 소개한다. 또한 기본 연산에 대한 대수적인 성질과 공학적 응용에 많이 나타나는 특수한 행렬에 대해서도 학습한다. 그리고 선형연립방정식의 해를 구하기 위한 기초적인 도구로서 행렬식과 역행렬을 정의하고 이와 관련된 여러 가지 중요한 성질에 대하여 학습한다. 마지막으로 행렬과 행렬식이 공학 문제를 해결하는데 어떻게 활용될 수 있는가에 대하여 몇 가지 응용 예를 살펴본다.
2장에서는 주어진 선형연립방정식의 해를 구하는 기본적이고 필수적인 여러 가지 해법에 대해 다룬다. 먼저, 선형연립방정식의 해를 구하는 가장 대표적인 Gauss 소거법과 Gauss-Jordan 소거법에 대하여 소개하고 이를 위한 사전 지식으로써 기본행연산의 개념에 대해서도 학습한다. 또한, 선형연립방정식의 계수행렬의 역행렬을 이용하여 해를 구하는 방법과 행렬식 계산만으로 해를 구할 수 있는 Cramer 규칙도 추가적으로 학습한다. 마지막으로 규모가 큰 선형연립방정식의 계수행렬을 하삼각행렬과 상삼각행렬의 곱으로 분해함으로써 해를 수치적 방법으로 구할 수 있는 LU-분해 알고리즘의 개념과 해를 구하는 과정에 대해서도 다룬다.
3장에서는 위치벡터에 대한 개념과 수학적 표현을 소개하고, 벡터의 기본 연산인 벡터 덧셈과 스칼라곱에 대하여 다룬다. 또한, 벡터 간의 곱셈에 해당되는 벡터의 내적 및 외적을 정의하고 중요한 대수적 성질들에 대해 학습한다. 마지막으로 기하학적인 위치벡터를 추상적으로 확장한 유클리드 벡터공간을 구체화하여 다양한 공학 문제에 활용되는 몇 가지 응용 예를 살펴본다.
4장에서는 기하학적인 측면에서 해석적인 측면으로 확장한 벡터의 개념을 벡터의 대수적인 성질을 공리로 하여 다시 한번 확장한 일반 벡터공간에 대하여 다룬다. 먼저 벡터공간과 부분공간의 정의와 벡터의 선형결합과 생성에 대하여 살펴보고, 선형종속과 선형독립의 개념을 기하학적인 해석과 함께 설명한다. 선형독립과 생성의 개념으로부터 벡터공간의 기저와 차원을 소개하고 기저의 변경에 대해서도 학습한다. 다음으로 선형연립방정식을 해와 밀접한 관련이 있는 행공간과 열공간, 그리고 영공간의 개념을 소개하고 랭크와 무효차수에 대하여 설명한다. 마지막으로 일반 벡터공간의 개념을 이용한 몇 가지 공학적인 응용에 대하여 소개한다.
5장에서는 벡터공간 사이에 정의된 변환이 벡터공간의 구조를 보존하는 선형변환에 대하여 살펴보고 이와 관련된 여러 가지 성질들을 소개한다. 선형변환에서 핵과 치역을 정의하고 단사와 전사의 개념에 대해서도 살펴본다. 또한 두 개 이상의 선형변환을 순차적으로 적용하여 하나의 새로운 변환으로 결합한 합성변환과 역변환에 대해서도 다룬다. 마지막으로 행렬변환과 성질을 소개하고, 이를 확장하여 일반 벡터공간에서 정의되는 선형변환을 특정 기저에 대한 대표행렬로 표현하는 방법을 제시한다. 이로부터 기저가 달라지는 경우, 선형변환의 대표행렬들 사이의 관계를 유사변환으로부터 살펴본다.
6장에서는 주어진 정방행렬을 보다 단순한 형태인 대각행렬로 변환하는 대각화 개념과 방법에 대하여 학습한다. 이를 통하여 복잡한 행렬의 거듭제곱, 선형변환의 해석 등을 효율적으로 수행할 수 있게 된다. 먼저, 행렬의 대각화 가능 여부를 판별하기 위하여 고유값과 고유벡터의 개념을 도입하고 이와 관련된 여러 가지 중요한 성질들을 소개한다. 또한 행렬의 대각화 과정에서 중요한 개념인 유사행렬에 대하여 살펴보고 유사행렬들의 여러 가지 불변 성질에 대하여 학습한다. 마지막으로 실수로 구성된 대칭행렬은 항상 정규직교 고유벡터로 구성되는 유사변환으로부터 직교대각화가 가능하다는 것을 설명하고, 이로부터 파생된 스펙트럼 분해의 개념과 응용에 대해 소개한다.
7장에서는 내적공간의 정의와 성질을 바탕으로 직교성, 정규직교기저, 직교투영 등을 체계적으로 다룬다. 내적을 통해 벡터의 놈과 각도, 거리를 정의하고 이를 통해 직교성의 개념을 학습하며, 정규직교기저를 이용한 효율적인 벡터 표현 방법을 소개한다. 또한, 벡터를 부분공간으로 투영하는 직교투영의 개념으로부터 임의의 기저를 정규직교기저로 변환하는 Gram-Schmidt 과정을 다루고, 이를 이용한 행렬의 QR-분해도 함께 학습한다. 마지막으로 직교투영을 활용한 최적근사로부터 선형연립방정식의 최소제곱해를 구하는 방법을 제시한다.
8장에서는 2차형식의 개념과 성질을 중심으로 이를 이해하고 해석하는 데 필요한 기초 이론을 다룬다. 먼저 2차형식의 행렬 표현과 직교변수변환을 통해 2차형식을 대각행렬로 단순화하는 주축 정리에 대하여 학습한다. 다음으로 2차형식의 부호를 정의하고, 고유값과 주대각 소행렬식을 이용하여 2차형식의 부호를 판별하는 방법을 소개한다. 또한, 유클리드 벡터공간을 복소벡터공간으로 일반화하고, 복소 유클리드 내적과 여러 가지 중요한 성질 등에 대하여 학습한다. 마지막으로 특수한 복소행렬인 에르미트행렬과 유니터리행렬을 정의하고, 이 행렬들의 고유값과 고유벡터들에 관련된 중요한 성질을 다룬다.

CHAPTER 01 행렬과 행렬식
1.1 행렬의 정의와 상등
(1) 행렬의 정의
(2) 행렬의 수학적 표현
(3) 행렬의 상등
1.2 행렬의 기본 연산
(1) 행렬 덧셈
(2) 행렬의 스칼라곱
(3) 행렬의 곱셈
(4) 행렬의 거듭제곱
(5) 단위행렬
(6) 행렬다항식
1.3 특수한 행렬
(1) 전치행렬
(2) 대칭행렬과 교대행렬
(3) 행렬의 분해
(4) 삼각행렬
1.4 행렬식의 정의와 성질
(1) 행렬식의 정의와 계산
(2) 행렬식의 성질
1.5 행렬식의 Laplace 전개
(1) 소행렬식과 여인수
(2) Laplace 전개
1.6 역행렬의 정의와 성질
(1) 역행렬의 정의
(2) 역행렬의 성질
1.7 역행렬 공식
(1) 수반행렬의 정의
(2) 역행렬 공식의 유도
1.8 여러 가지 공학적 응용 예
(1) 전기회로의 수학적 표현 : 선형연립방정식의 행렬 표현
(2) 선형시스템의 수학적 모델링 : 미분방정식의 행렬 표현
(3) 2-포트 회로 해석 : 행렬의 곱셈
연습문제

CHAPTER 02 선형연립방정식의 해법
2.1 기본행연산
(1) 선형연립방정식의 풀이 과정
(2) 기본행연산
2.2 Gauss 소거법
2.3 Gauss-Jordan 소거법
2.4 선형연립방정식의 추가적인 해법
(1) 역행렬에 의한 선형연립방정식의 해법
(2) Cramer 규칙을 이용한 해법
2.5 Gauss-Jordan 소거법을 이용한 역행렬의 계산
2.6 행렬의 LU-분해
(1) LU-분해의 정의
(2) 기본행렬과 기본행연산
(3) 기본행렬의 역행렬
(4) LU-분해의 존재성과 유일성
2.7 LU-분해의 응용
(1) LU-분해를 이용한 선형연립방정식의 해
(2) LU-분해를 이용한 행렬식 계산
(3) LU-분해를 이용한 역행렬 계산
2.8 여러 가지 공학적 응용 예
(1) 다항식 보간법
(2) 전기회로의 해석 : 마디해석법
(3) 화학방정식의 완성
연습문제

CHAPTER 03 유클리드 벡터공간
3.1 벡터와 스칼라
(1) 벡터와 스칼라의 정의
(2) 벡터의 평행이동과 위치벡터
(3) 순서쌍과 유클리드 벡터공간
3.2 벡터 연산: 벡터 덧셈과 스칼라곱
(1) 벡터 덧셈
(2) 벡터의 스칼라곱
(3) 벡터 연산에 대한 대수 법칙
3.3 벡터의 놈(Norm)과 거리
(1) 벡터의 놈
(2) 단위벡터
(3) 표준단위벡터
(4) 두 벡터간의 거리
3.4 벡터의 내적과 성질
(1) 벡터의 내적
(2) 내적의 성분 표시
(3) 내적의 대수적 성질
(4) 두 벡터의 사이각
(5) 내적의 열벡터 표현
3.5 벡터의 외적과 성질
(1) 외적의 정의
(2) 벡터의 외적과 내적이 포함된 연산
(3) 벡터 외적의 행렬식 표현
(4) 스칼라 삼중적
3.6 직선과 평면의 벡터방정식
(1) 직선의 벡터방정식
(2) 직선의 매개변수방정식과 대칭방정식
(3) 평면의 벡터방정식
(4) 세 점을 지나는 평면
(5) 두 평면의 교차각
3.7 여러 가지 공학적 응용 예
(1) 로봇의 이동 위치 파악
(2) 인공지능의 감성분석
연습문제

CHAPTER 04 일반 벡터공간
4.1 벡터공간의 확장
(1) 벡터공간의 정의
(2) 벡터공간의 예
4.2 부분공간
(1) 부분공간의 정의
(2) 부분공간의 검증
(3) 부분공간들의 교집합
4.3 벡터의 선형결합과 생성집합
(1) 벡터의 선형결합
(2) 벡터의 생성공간
4.4 선형독립과 선형종속
(1) 선형독립과 종속의 정의
(2) 선형독립성 판단
(3) 선형독립의 기하학적 해석
4.5 기저벡터와 차원
(1) 선형대수학에서의 좌표계
(2) 기저벡터의 정의
(3) 기저에 대한 좌표
(4) 벡터공간의 차원
(5) 몇 가지 기본 정리
4.6 기저의 변경
(1) 좌표사상
(2) 새로운 기저로의 변경
(3) 전이행렬 표기와 가역성
4.7 행렬공간: 행공간, 열공간, 영공간
(1) 행렬공간의 정의
(2) 비동차 연립방정식 Ax=b의 해
(3) 동차 연립방정식 Ax=0의 해
4.8 행렬의 랭크와 무효차수
(1) 행공간과 열공간의 차원
(2) 기약 행사다리꼴에 대한 행공간과 열공간의 기저
(3) 임의의 행렬에 대한 열공간의 기저
(4) 행렬의 차원 정리
4.9 여러 가지 공학적 응용 예
(1) 미분방정식의 상태공간 모델링
(2) 기저변경을 통한 유사변환
(3) 데이터 전송에서 랭크의 응용
연습문제

CHAPTER 05 선형변환
5.1 선형변환의 정의와 성질
(1) 선형변환의 정의
(2) 선형변환의 성질
5.2 선형변환의 핵과 치역
(1) 핵과 치역의 정의
(2) 핵과 치역의 성질
(3) 선형변환의 랭크와 무효차수
5.3 단사 및 전사 선형변환
(1) 단사함수와 전사함수
(2) 단사 및 전사 선형변환
5.4 역변환과 합성변환
(1) 역변환의 정의
(2) 역변환의 존재성
(3) 선형변환의 합성
5.5 행렬변환
(1) 행렬변환의 정의
(2) 선형변환의 표준행렬
(3) 기본적인 행렬연산자
5.6 행렬변환의 합성과 역변환
(1) 합성의 정의
(2) 행렬변환의 성질
5.7 선형변환의 행렬 표현
(1) 기저에 대한 변환의 효과
(2) 선형변환의 대표행렬
5.8 유사변환
5.9 여러 가지 공학적 응용 예
(1) 컴퓨터 그래픽스에서 객체의 회전
(2) 선형시스템의 대각화
(3) 2-포트 회로의 해석
연습문제

CHAPTER 06 행렬의 대각화
6.1 고유값과 고유벡터의 정의
(1) 행렬 관점에서의 정의
(2) 선형연산자 관점에서의 정의
6.2 특성방정식과 고유벡터의 계산
(1) 특성방정식
(2) 고유벡터의 결정
(3) 고유값과 고유벡터의 성질
6.3 고유공간의 기저
6.4 행렬의 대각화
(1) 고유값 분해
(2) 대각화 가능성 판별
6.5 유사행렬과 불변 성질
(1) 유사행렬의 정의
(2) 유사행렬의 불변성
(3) 행렬의 거듭제곱 계산
6.6 직교행렬의 정의와 성질
(1) 직교행렬의 정의
(2) 직교행렬의 성질
(3) 직교변환의 성질
6.7 직교대각화와 스펙트럼 분해
(1) 직교대각화 문제
(2) 대칭행렬의 성질
(3) 스펙트럼 분해
(4) 스펙트럼 분해를 이용한 행렬의 거듭제곱 계산
6.8 여러 가지 공학적 응용 예
(1) 이산시간 동적시스템의 응답
(2) 제어시스템의 안정도 해석
(3) 주성분 분석을 통한 데이터 압축
연습문제

CHAPTER 07 내적공간과 직교투영
7.1 내적공간의 정의
(1) 내적의 정의
(2) 행렬내적과 내적의 대수적 성질
7.2 내적공간의 직교성
(1) 직교벡터의 정의
(2) 직교여공간
7.3 직교기저와 정규직교기저
(1) 직교집합과 정규직교집합의 정의
(2) 직교집합의 선형독립성
(3) 정규직교기저에 대한 좌표 표현
7.4 직교투영과 Gram-Schmidt 과정
(1) 직교투영의 정의
(2) 직교투영의 정리
(3) Gram-Schmidt 과정
7.5 행렬의 QR-분해
7.6 최적근사 : 최소제곱법
(1) 최적근사의 개념
(2) 최소제곱해의 결정
7.7 여러 가지 공학적 응용 예
(1) 최소제곱 곡선적합
(2) 제어시스템의 모드 해석
(3) 신호처리에서 신호의 분해
연습문제

CHAPTER 08 2차형식과 복소벡터공간
8.1 2차형식과 행렬 표현
(1) 다변수함수의 정의
(2) 2차형식의 정의와 행렬 표기법
8.2 2차형식의 변수변환
8.3 2차형식의 부호
(1) 2차형식과 행렬의 부호
(2) 2차형식의 부호 판별
8.4 복소벡터공간
(1) 복소 유클리드 내적
(2) 복소행렬
(3) 복소행렬의 고유값과 고유벡터
8.5 특수한 복소행렬
(1) 유니터리행렬과 에르미트행렬
(2) 에르미트행렬과 유니터리행렬의 성질
8.6 여러 가지 공학적 응용 예
(1) 제어시스템의 Lyapunov 안정도 해석
(2) 제약된 조건하에서의 극값 문제
(3) 전력시스템 해석
연습문제

부록
참고문헌
연습문제 해답

김동식 (金東植)
1986년 고려대학교 전기공학과 공학사 취득(고려대학교 전체 수석)
1988년 고려대학교 일반대학원 전기공학과 공학석사 취득
1989년 특수전문요원 예사 11기 전역
1992년 고려대학교 일반대학원 전기공학과 공학박사 취득
1997년~1998년 University of Saskatchewan, Visiting Professor
2004년 LG 연암문화재단 해외 연구교수 선정
2005년~2006년 University of Ottawa, Visiting Professor
2013년~2014년, 2023년~2024년 고려대학교 전력시스템기술연구소 연구교수
1992년~현재 순천향대학교 전기공학과 교수

〈저서〉
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