수학의 숨은 원리

수학에게 묻다.
"왜 그렇게 할까? 왜 그렇게 하면 문제가 풀릴까?"

수학의 많은 부분은 "문제를 푸는 방법"을 배우는 것이다.
하지만 그 누구도 왜 그렇게 푸는지, 왜 그렇게 하면 풀리는지 알려주지 않았다.
그 누구도 답해주지 않았던 수학에 대한 근본적인 물음에 대답한다!

서평

수학의 기초를 다지기 위해 꼭 읽어야 할 책이다.
-유성현(의사)-

시중의 수학책을 살펴보면 내용은 거의 대동소이하다. 이 책은 다르다. 같은
내용도 다른 방식으로 제시하여, 수학의 본질에 대해 다시 한번 생각하게
도와준다. 이것만으로도 이 책은 존재의 의미가 있다.
-최창만(전 한국전력공사 전무)-

문제를 풀기 위해 어떻게 생각을 해야 하는지 알려 주는 책이다. 이 책에서
소개하는 방법으로 수학적 사고를 해나가면 수리논술이나 수학능력시험의
어려운 문제도 거뜬히 해결할 수 있을 것이다.
-최승인(종로학원 서울역 본원 수학 강사)-

4차 산업혁명시대에 요구되는 창조적인 인재가 되려면 익숙함에서 벗어
나려는 관점의 변화가 필요하다. 이 책은 우리에게 익숙한 수학적, 논리적
문제들에 '왜?'라는 질문을 새롭게 던지면서 그와 같은 시도를 하고 있다.
각 장마다 펼쳐져 있는 저자의 설명을 따라 가다 보면, 어느샌가 독자들이
갖는 사고의 폭도 더욱 넓어질 것이다. 학교에서 익숙하게 배웠던 문제들이
쉽고 재밌게 되는 것은 덤으로 얻는 즐거움이다. 일독을 권한다.
-유세진(삼성전자)-

이 책은 수학을 배우는 주목적인 논리적 사고에 대해 이야기하는 반가운
책이다. 이미 많은 책들이 같은 목적으로 쓰여졌지만, 다른 책들은 천재들의
독창적인 사고나 오랫동안 풀리지 않고 있는 난제 등을 예시로 삼고 있어
직접적인 공감을 이끌어 내기 힘들었다. 기존의 책과 다르게 이 책은 우리가
중고등학교때 이미 경험한 수학 문제에 숨겨있는 논리적 사고를 보여주고,
그것을 통해 수학의 논리성을 이해할 수 있게 한다. 이 책은 입시를 위해
수학을 공부하는 수험생에게는 수학 공부의 목적을, 일반 교양을 위해 이
책을 읽는 독자에게는 논리적 사고가 무엇인지를 알려주는 고마운 책이다.
-김기하(연세대학교 계산과학공학 박사 과정)-

무작정 공식을 암기하는 것이 아니라 수학의 원리를 이해하면 수학과 친해
질 수 있습니다. 이 책과 함께 수학의 매력에 빠져보세요.
-차기훈(고려대학교 수학과, 2013 수능 수학 100점)-

들어가기. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

기하
직사각형의넓이. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
직사각형의넓이와"덧셈에대한곱셈의분배법칙" . . . . . . . . . . . . . 9
직각삼각형의넓이 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
다양한모양의삼각형의넓이 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
피타고라스의정리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
좌표평면위삼각형의넓이 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

수와연산
수표기하기 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
더큰수표기하기 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
제곱해서2가되는양수는어떻게표기할것인가? . . . . . . . . . . . . . . 27
분수와소수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
많은수을지칭하기:조건 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
도대체√2는무엇인가?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
대범한시도 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
귀류법 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
허수i의출현 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
(?1) × (?1)은왜1인가? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1을0으로나누면? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
제곱근을포함한두수의대소비교1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
제곱근을포함한두수의대소비교2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
제곱근을포함한두수의대소비교3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
분모의유리화 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
대수 77
변수를활용하기. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
변수를포함한식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
자연수의덧셈(결합법칙과교환법칙). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
항등식을증명하기 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

대수:방정식
방정식:들어가기 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
양변에공통적인요소를확인한다 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
조금복잡한예 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
더욱복잡한예 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
반복되는요소를찾아서없애라. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
미지수가하나인1차방정식:양변에같은연산하기. . . . . . . . . . . . . 104
미지수가하나인1차방정식:양변에같은연산하기2 . . . . . . . . . . . . 106
역원 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
미지수가하나인1차방정식:부정또는불능 . . . . . . . . . . . . . . . . 109
미지수가하나인1차방정식:정리. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
연립1차방정식:연결점을설정하자. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
연립1차방정식:연결점x + y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
연립1차방정식:연결점설정의고려사항 . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
연립1차방정식:연결점0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
미지수가두개인연립1차방정식:양변에같은연산하기 . . . . . . . . . 120
미지수가두개인연립1차방정식:마무리 . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
미지수가3개인연립1차방정식:연결점 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
동치 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
동치와사칙연산 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
동치와연립방정식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
2차이상의방정식. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
2차이상의방정식풀기 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

대수:인수분해
인수분해:들어가기. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
갤러리:다항식의그래프. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
인수분해의기초:반복되는요소를찾아라. . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
1차다항식의인수분해:(부분적으로)반복되는요소를찾아라 . . . . . . . 150
인수분해와변수의개수. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
변수가하나인3차다항식의인수분해:계수의반복 . . . . . . . . . . . . 158
계수에서공통요소를찾아라(변수가하나인3차다항식) . . . . . . . . . . 162
문제를푸는2가지방법 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
변수가하나인2차다항식의인수분해 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
변수가하나인2차다항식의인수분해:실수계수 . . . . . . . . . . . . . . 172
변수가하나인2차다항식의인수분해:방정식의해. . . . . . . . . . . . . 175
인수분해와방정식의해. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
공식의재활용:"변수+상수" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
변수가하나인3차다항식의인수분해:복습. . . . . . . . . . . . . . . . . 181
3차다항식의인수분해:x3 ? y3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
변수가둘인3차식의인수분해공식유도1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
변수가둘인3차식의인수분해공식유도2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
x3 + y3 + z3 ? 3xyz 의인수분해공식유도 . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
변수가하나인4차다항식의인수분해:복이차식1 . . . . . . . . . . . . . 190
변수가하나인4차다항식의인수분해:복이차식2 . . . . . . . . . . . . . 193
변수가하나인4차다항식의인수분해:반복적인계수 . . . . . . . . . . . 198
변수의개수를줄이자1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
변수의개수를줄이자2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
최고차수를줄이자 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

대수:부등식 214
미지수가하나인1차부등식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
부등식과음수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
미지수가하나인1차부등식의해법 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
2차이상의부등식. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
미지수가하나인2차부등식의해법 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
산술평균,기하평균1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
산술평균,기하평균2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

에필로그

김권현 저자 김권현은 서울에서 태어나 줄곧 서울에서 학교를 다녔다.

"수학의 놀라움은 쉽게 알 수 없는 사실을 논리적으로 밝혀낸다 것이었다. 그 논리를 따라가면 어쩔 수 없다. (평면 위의) 모든 삼각형의 내각의 합은 180도이고, 모든 삼각형은 피타고라스의 정리를 따른다."

하지만 학교 수업에 불만이 많았다.

'컴퓨터가 인수분해, 미분, 적분을 척척 해내는 21세기에 우리가 배워야 할 것은 수학적 지식이 아니라 수학적 사고 능력이 아닌가?'

그래서 시대의 요구에 부합하는 수학책의 집필을 시작한다. 그리고 10여 년이 흘렀다. 출판사의 요구로 일반인들이 어려워할 만한 부분은 과감하게 삭제 한다. "수학의 숨은 원리, 제 2권"을 계획하고 있다.

서강대학교 대학원 강사
서울대학교 인지과학 박사
서울대학교 자연과학부 물리학 전공