실버만 복소해석학: 복소해석학과 응용

[머리말]



수학의 여러 분야가 세분화됨에 따라 학생들은 너무 빨리 특정 분야에 몰두하려고 한다. 교육 제도 또한 그러한 경향을 따라 교육과정의 세분화를 부추기곤 한다. 예컨대 대학의 교육과정에서 선형대수학과 현대대수학은 서로 공유점이 없는 것으로 여겨지기도 하고 확률론과 통계학은 별도 과정으로 여겨지기도 하며 기초미적분학의 과정 없이 고급미적분학의 과목만 개설되기도 한다.



이 책은 실해석학과 복소해석학 사이에 깊은 연관이 있으며, 복소해석학을 공부하는 과정에서 그러한 연관성이 대단히 중요한 역할을 한다는 사실을 바탕으로 구성되었다. 이 책에서는 복소해석학의 이론을 전개하기 전에 실해석학의 개념을 논의한 후 그 결과를 복소함수에 적용하여 넓히기도 하며, 복소해석학의 문제에서 시작하여 얻어진 결과를 실해석학에서 다루는 개념으로 좁히기도 한다. 두 방법, 즉 일반화와 특수화 모두 복소함수를 바르게 이해하는 데에 대단히 유용한 방법이다.



보통 복소수는 이해하기 어려우며 허수단위는 기이하다고들 생각한다. 다행히 실수체(real field)를 자세히 관찰함으로써 이러한 유감스러운 편견은 극복될 수 있다. 이 책에서는 고급미적분학에 대한 내용을 먼저 제시한 후 새롭게 얻은 복소함수에 대한 지식을 바탕으로 고급미적분학의 정리들을 다시 살펴봄으로써 나선형 효과를 생성하였으며 그 결과 독자들이 복소함수에 대한 편견을 극복할 수 있도록 하였다.



또한 이 책에서는 새로 도입하는 개념들의 해석적 특징과 기하적 특징을 비교하였다. 이를 통해 우리는 자연스럽게 "엄밀함"에 대한 논의를 할 수 있다. 최근에는 해석적인 것은 엄밀하며 기하적인 것은 그렇지 않은 것으로 간주되는 경향이 있다. 이와 같은 이분법으로 인하여 어떤 책에서는 풍부하고 기하적인 내용에 지나치게 엄밀성을 부여하기 위해 노력하며, 다른 책에서는 해석적인 조명 없이 기하적으로만 개념을 논의하여 지나치게 직관적으로 내용을 전달하려고 노력하기도 한다. 필자는 혼란스러운 것을 명료하도록 하는데 있어 엄밀함이 유용하다고 생각한다. 따라서 이 책에서 기하는 해석적 개념을 시각화하는 데에 사용되었으며, 해석(analysis)은 과하게 엄밀하지 않으면서 기하적 관념을 풀어내기 위해 적절한 수준으로 사용되었다.



정리(theorem)를 소개하기에 앞서 때때로 동기를 부여하기 위한 논의가 제시된다. 또한 핵심 단계와 새로 얻을 수 있는 결과들을 담고 있는 참고(remarks)가 정리 다음에 제시되어 내용을 조명해 준다. 난해한 정리에 대하여 설명이 간결하지 못한 부분이 있지만 이는 불가피한 것이라고 생각한다. 간결함이 지혜의 핵심이기는 하지만 정교한 수학 개념에 대한 통찰의 핵심은 아니기 때문이다.



서로 다른 접근법 사이의 관계를 고찰하는 것 또한 중요하므로, 몇몇 정리는 여러 가지 방법으로 증명되었다. 한 가지 방법을 따라 결과를 얻고, 동일한 결과를 얻는 또 다른 방법을 살펴보는 것이 우리의 목적이며, 최신의 수학 지식에 빠르게 도달하는 것은 부차적이다.



각 절의 끝에 제시된 토의문제에 대하여 짧게 언급하고자 한다. 필자는 수학이 그 자체의 내적 논리, 일관성과 함께 현재의 결과에 도달하게 된 이유에 대해서도 논의되어야 한다고 생각한다. 결론이 "합리적"이라고 생각되는가? 그것을 예상했는가? 그 단계는 자연스러운가 또는 인위적인가? 그 결과에 대하여 다른 방법으로 다시 증명할 수 있는가? 우리가 증명한 것을 직관적으로 말할 수 있는가? 그림을 그릴 수 있는가?





"토의문제"는 각 절의 끝에 제시되었는데 쉽게 범주화 될 수 없다. 어떤 토의문제는 단순하지만 어떤 문제는 상당히 어렵다. 어떤 문제는 구체적이지만 어떤 문제는 상당히 모호하다. 어떤 문제는 답이 하나이지만 어떤 문제는 답이 여러 개이다. 어떤 문제는 증명된 내용과 관련이 있지만 어떤 문제는 앞으로 증명할 내용에 대한 복선이 된다. 이 문제들은 공통점이 있는가? 그렇다. 이 문제들은 학생들이 사고, 이해, 창조, 질문할 수 있도록 의도된 것이다. 이 문제들은 자신의 강의에서 이를 다루고자 하는 교수자들에게 도움이 될 것이다.



각 절의 끝에 제시된 연습문제에 대해서는 언급할 필요가 없다. 그 이유는 연습문제가 토의문제보다 훨씬 일반적이기 때문이다. 토의문제와 연습문제의 차이점은 용어이다. 연습문제의 풍부함은 학생이 해당 절에서 내용을 얼마나 잘 이해하였는지에 대하여 좋은 지표가 될 것이다.



이 책을 보기 위해 필요한 예비지식은 최소한의 고급미적분학에 대한 내용이다. 처음의 9개의 장은 복소해석학을 소개하기 위한 견고한 기초를 제시한다. 그 이후의 4개의 장은 심화된 주제를 자세히 제시한다. 이는 복소해석학의 일반 이론을 연구하고자 하는 학생을 위한 기초를 제공하기 위한 것이다.



이 책이 한 학기 과정으로 사용된다면 5장, 6장, 7장, 8장, 9장이 중심이 되어야 한다. 1장은 빠르게 볼 수 있으며 2장의 개념은 이후에 응용이 될 때 도입하면 된다. 3장은 모두 생략될 수 있으며 4장에서 사상의 성질은 생략될 수 있다.



필자는 이 책을 집필하면서 "자명한(trivial)"이라는 단어는 사용하지 않으려고 하였다.

그러나 아쉽게도 이 책의 마지막 절에 제시된 리만(Riemann) 가설을 언급하기 위해서 리만 제타(Riemann zeta) 함수의 자명한 영점(trivial zeros)을 다루는 표준적인 용어를 사용해야만 하였다. 이 부분만 아니라면 우리의 바람은 이루어진 것이다. 자세한 설명과 참고, 풀이가 제시된 예제와 통찰이 풍부하게 제시되어 있다. 교수자는 학생이 스스로 읽을 절을 남겨두어야 한다. 사실 이 교재를 사용하여 학생이 스스로 학습할 수도 있다.



교수자용 지도서에는 자세한 힌트와 토의문제, 연습문제에 대한 해설이 제시되어 있다. 관심이 있는 교수자는 이메일로 연락하여 PDF 파일을 받을 수 있다.



이 책의 준비를 위해 도움을 주신 인도 마드라스의 Center for Continuing Education at the Indian Institute of Technology에 감사드린다.\par



끝으로 이 책의 원고에 대하여 즉각적이고 효율적인 답장으로 필자에게 큰 도움을 준 Birkhauser 출판사의 책임 편집자 Ann Kostant에게 감사드린다.



2005년 6월

머리말 iii

역자 머리말 vii

차례 ix

제1장 대수와 기하의 예비지식 1

1.1 복소수체 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 직교형식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 극형식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

제2장 위상과 해석의 예비지식 29

2.1 평면의 점집합 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2 수열 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.3 긴밀성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.4 입체사영 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.5 연속성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

제3장 이중선형변환과 여러 가지 사상 75

3.1 기본사상 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.2 선형분수변환 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.3 그 밖의 사상들 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

제4장 초등함수 111

4.1 지수 함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.2 사상성질 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.3 로그 함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

4.4 복소 지수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

제5장 해석적 함수 147

5.1 코시-리만 방정식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

5.2 해석성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

5.3 조화함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

제6장 멱급수 185

6.1 수열의 재검토 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

6.2 균등수렴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

6.3 매클로린과 테일러 급수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

6.4 멱급수에 관한 연산 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

제7장 복소적분과 코시 정리 237

7.1 곡선 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

7.2 매개변수 표현법 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

7.3 선적분 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

7.4 코시의 정리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

제8장 코시 정리의 활용 295

8.1 코시 적분 공식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

8.2 코시 부등식과 응용 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

8.3 최대절댓값 정리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

제9장 로랑 급수와 유수 정리 345

9.1 로랑 급수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

9.2 특이점의 분류 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

9.3 실적분의 계산 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

9.4 편각 원리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

제10장 조화함수 417

10.1 조화함수와 해석적 함수의 비교 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417

10.2 푸애송 적분 공식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

10.3 양의 조화함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444

제11장 등각사상과 리만 사상 정리 455

11.1 등각사상 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455

11.2 정규족 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467

11.3 리만 사상 정리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474

11.4 해석적 단엽함수족 S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486

제12장 정함수와 유리형 함수 495

12.1 무한곱 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495

12.2 바이어슈트라스의 곱 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509

12.3 미타그-레플레르(Mittag-Leffler)의 정리 . . . . . . . . . . . . . . . 526

제13장 해석적 연장 535

13.1 기본 개념 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535

13.2 감마 함수와 제타 함수에의 응용 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550

참고문헌과 참고도서 567

일부 토의문제와 연습문제 힌트 569

Saminathan Ponnusamy