수학의 모험

2천 년을 지배한 평행선 공리를 뒤집은 비유클리드기하학,

부분이 전체와 같아지는 집합론의 역설,

공리계 스스로 무모순성을 증명할 수 없음을 증명한 괴델의 정리.



역설이 만든 위대한 발견에서

천재 수학자들의 경이로운 사유를 읽는다!



철학과 수학을 넘나드는 사유의 모험

수학적 사고는 계산을 확인하는 협소한 체계가 아니다. 수학은 전제나 공리를 의심하는 근원적 사유의 공간이다. 이런 점에서 비판적 사유를 제공하는 철학이라 해도 좋을 만큼 본질적이다. 수학은 자명해 보이는 것에 대해서도 이유를 따져 묻고 적절한가의 여부를 증명한다. 그래서 집합론의 창시자 칸토어는 "수학의 본질은 자유다"라는 유명한 말을 남겼다. 지배적인 사고에 얽매여서는 수학적 사유를 창안할 수 없기 때문이다.

이런 의미에서 수학은 하나의 '사고방식'이며 '삶의 방식'이다. 이는 근대 초기의 중요한 수학자들이 과학자인 동시에 철학자였다는 사실에서 알 수 있다. 역으로 대부분의 철학자들이 수학을 통해 자신의 새로운 사유를 발전시켰다는 것 역시 수학이 철학적 사유의 지반임을 말해준다.

그런 의미에서 수학은 이미 하나의 철학이다. 그것은 당연시된 모든 것에 의문의 화살을 쏘고 종종 그 기반을 뒤집어버리는 전복적이고 혁명적인 사유의 양상들을 담고 있다. 집합론을 창시한 칸토어는 당대 수학자들로부터 미치광이 취급을 받았지만 그의 시도는 새로운 사유를 촉발하고 자극함으로써 수학의 지반을 광대하게 넓혔다. 그래서 수학 공식과 정리에는 수학자들의 갈등과 고통, 꿈틀대는 사유의 궤적이 스며 있다. 이 책을 만나는 독자들은 수학이 그동안 한 번도 접해보지 못한 거대한 사유 체계라는 점을 깨닫게 된다.



철학자 이진경의 어깨에 올라 수학을 보다!

철학자 이진경은 수학을 가지고 논다. 캘큘러스 박사와 메피스토가 영혼을 걸고 내기를 해서 탄생한 미적분학, 비유클리드기하학의 세계를 여행하는 이상한 나라의 앨리스, 괴델의 불완전성의 정리를 대담하게 극화한 프렌지오 감옥 탈출 이야기 등 역동적이고 반전 있는 이야기가 펼쳐진다.

동화, 소설, 희곡, 시나리오, 편지 등 형식을 넘나드는 글쓰기로 보통 사람들도 충분히 접근 가능한 수학으로 변주했다. 수학사의 주요 장면 장면이 재미있는 시트콤이 되었다가 촌극으로 넘어가기도 하고 진리 퀴즈로 독자의 사고력을 시험한다. 기구한 수학자의 인생 드라마도 펼쳐진다. 난해하기 그지없는 이론, 공포스러운 공식이 유머 가득한 생생한 이야기로 다시 태어났다. 이야기에는 뼈때리는 철학적 사유가 숨어 있다.

철학자 이진경은 단순히 수학 천재들이 발견한 공식의 원리나 수학사의 흐름을 기술하는 데서 멈추지 않는다. 새로운 상상력으로 그 뿌리까지 흔들어버리는 사유의 방식, 익숙한 관념에 갇힌 낡은 사고를 깨우는 수학적 발상법을 들려준다. 수학을 그저 끔찍한 과정으로 이해하는 많은 사람들에게 수학은 약동하는 시대정신이며 삶의 문제임을 이야기한다. 이 책은 수포자인 많은 학생들과 수포자였던 많은 성인 독자들을 즐거운 사유의 모험으로 안내한다.



* 이 책은 『수학의 몽상』의 전면 개정판이다. 오늘의 시점에 맞게 문장을 손보고, 흐른 시간만큼 확장된 저자의 철학적, 수학적 사유를 보완하고 다듬었다.

프롤로그

상상력이 만드는 경이로운 수학의 세계

수학에 왕도는 있다 | 철학으로 수학을 사유하다 | 권위를 내버린 유쾌한 수학 속으로



제1장

수학의 초상화들 _진리 게임을 넘어서

진리 게임 | 수학자와 봉숭아 학당 | 모든 수학 이론이 수학적 진리와 무관하다는 것의 수학적 증명 | 수학의 본질은 자유다 | 수학의 초상화들



제2장

근대 과학혁명과 수학 _자연을 수학화하라!

마술과 과학 | 갈릴레오, 혹은 과학의 탄생 신화 | 자연의 수학화 | 우주의 수학과 수학적 우주 | 과학의 힘, 수학의 힘 | 분석적 이성의 바깥



제3장

계산공간의 탄생 _수학화된 세계를 향한 첫걸음

코끼리-기계와 뭉개진 탑 | 예술의 가치를 계산하다 | 계산할 수 있는 수와 계산할 수 없는 수 | 화폐, 계산하는 세계의 문 | 두 눈 속의 계산공간 | 기하학의 대수화 | -2와 의 근본적 차이 | 기하학적인 수와 대수적인 수 | 기하학의 흔적을 지우자! | 해석기하학의 초대장 | 수학적 계산공간의 탄생



제4장

수학의 마술, 혹은 마술사의 수학 _미적분학의 '비밀'

악마의 수학, 수학의 악마 | 캘큘러스 박사의 운동화(運動畵) | 운동화의 물리학 | 캘큘러스 박사의 비밀 | 무한소와 미분비 | 운동의 물리학에서 접선의 수학으로 | 미분법을 뒤집어 원시함수로! | 곡선의 면적, 혹은 □으로 ○ 만들기 | 적분, 무한히 얇게 쪼개 합치는 기술 | 무한소의 융통성 | 적분을 하면 모든 면적이 같아진다고? | 오, 미분법의 영광이여!



제5장

세계를 수학화하려는 꿈 _17~18세기 수학의 풍경

캘큘러스, 해석학의 시대 | 계산 가능한 세계를 향하여 | 보편수학, 혹은 수학의 이념 | 17~18세기 수학의 네 가지 축 | 17~18세기의 수학적 공간



제6장

해석학의 위기, 기하학의 모험 _엄밀성의 강박과 위험한 창안 사이

스페이드 나라의 앨리스 | 마침내 수학의 위기가 도래하리니 | ?2?2?2?2?2?2……=0? | 마녀의 역설 | 온 세상이 다 들어가는 구슬 | 새로운 기하학의 공적을 빼앗기다 | 구슬공간의 기하학 | 구슬공간과 유클리드공간 | 근대 수학, 위기와 모험 | 해석학의 위기 | 비유클리드기하학과 새로운 대수학



제7장

산수와 대수의 힘 _수학의 천국으로 가는 길

'끄달려선 안 된다'는 생각에 끄달리다 | 칼리가리의 세 예언 | '존재한다'는 것만으로도 충분한가? | 수학적 수수께끼의 단서들 | 가우스가 준 뜻밖의 선물 | 기하학의 기초, 기하학의 분열 | 마술사 칼리하리를 만나다 | 메피스토 왈츠 | 해석학의 산수화 | 변환의 불변성과 기하학 | 모든 점에서 연속인데 모든 점에서 미분 불가능한 함수 | 수학과 도(道)



제8장

집합론, 무한을 셈하다 _무한집합의 역설들

19세기의 수학 정신 | 표준해석학과 범기하학 | 칸토어 박사, 판도라의 상자를 열다 | 자연수만이 실재한다? | 수란 무엇이며 무엇이어야 하는가? | 무한을 세는 방법 | 셀 수 있는 무한, 셀 수 없는 무한 | 대각선을 공략하라! | 길고 짧은 건 재보면 똑같다 | 연속체의 농도 | 우주공간의 모든 점들을 바구니 안에 담는 방법 | 초한수, 무로부터 나온 무한들 | 집합론의 역설



제9장

역설 없는 수학을 찾아서 _수학기초론의 세 가지 길

무한소의 역설에서 무한대의 역설로 | 자연수와 실수 사이의 심연 | 역설의 시대 | 이발사의 역설, 거짓말쟁이의 역설 | 자기에 대해 말하지 말라 | 내용 없는 형식으로서의 수학 | 형식 체계의 무모순성은 해석에 의존한다 | 형식주의, 논리주의, 직관주의 | 배중률과 귀류법을 포기하자! | 공리계의 완전성과 무모순성 | 수학적 엄밀성의 진혼곡



제10장

불완전성의 정리 _수학의 심연, 혹은 열린 경계

수학과 원초적 본능 | 서로 그리는 손의 역설 | 내재하는 외부 | CAP(Computer Aided Prison), 완전한 감옥 | 아킬레스와 괴델 | '이 명제는 증명할 수 없다'를 증명할 수 있다면 | 문장을 수로 바꾸는 방법 | 괴델수와 괴델의 정리 | 자연수, 너마저도! | 연속체 가설로 아킬레스를…… | 감금의 연속체, 탈출의 연속체 | 결정 불가능한 명제와 열린 경계



제11장

두 개의 수학 삼각형 _19세기 수학의 풍경

'계산'의 시대에서 '기초'의 시대로 | 두 개의 수학 삼각형 | 19세기 수학적 기획의 선들 | 기초 없는 수학을 위하여



에필로그

수학의 외부를 상상하는 즐거움

추상과 횡단 | 수학의 외부

이진경 전환기 한국사회의 토대를 분석한 『사회구성체론과 사회과학방법론』을 써서 24세에 이진경이라는 필명을 얻었다. 본명은 박태호. 서울대 사회학과를 졸업하고 같은 대학 대학원에서 논문 '서구의 근대적 주거공간에 대한 공간 사회학적 연구'로 박사학위를 받았다. 현재 지식 공동체 '수유너머104'에서 연구 활동을 하며 서울과학기술대학교 기초교육학부에서 강의하고 있다. 사회주의 붕괴 이후 근대성에 천착해 『철학과 굴뚝 청소부』를 썼고, 자본주의와 근대성의 변혁을 모색한 『맑스주의와 근대성』, 『근대적 시ㆍ공간의 탄생』, 『철학의 모험』, 『이진경의 필로시네마』를 썼다. 푸코, 들뢰즈, 가타리의 철학과 함께 자본주의의 외부에서 삶의 탈주를 꿈꾸며 『노마디즘』, 『철학의 외부』, 『역사의 공간』, 『불온한 것들의 존재론』 등 30여 권의 책을 냈다.