피타고라스 생각 수업(개정증보판)

★★★전국 학교 도서관 사서가 뽑은 최고의 수학 교양서!★★★
★★★문·이과 통합형 사고력 및 디지털 소양을 위한 필독서!★★★

"빠른 두뇌 회전, 명확한 선택, 기발한 상상은
어떻게 하는 것일까?"
수학자들은 이미 답을 알고 있다!
수학자처럼 세상을 발견하고, 분석하고, 활용하는 법!

우리는 일상에서 수학을 셀 수 없이 마주한다. 물건을 살 때, 게임 점수를 계산할 때, 화분에 물을 줄 때, 요리할 때, 자동차 연비를 계산할 때, 여행지에 가기 위해 집에서 출발 시간을 계산할 때 등 수없이 많다. 그렇기에 수학은 우리가 세상을 이해하고, 상황을 인식하고 결정하는 데 많은 영향을 미친다. 수학을 알면 알수록 두뇌가 빠르게 돌아가고, 결정도 빨라지며 선택이 명확해진다. 이러한 수학적 생각은 어떻게 하는 것일까?
이 책은 피타고라스, 유클리드, 페르미, 가우스, 힐베르트, 허준이 등 고대 수학자부터 현대 수학자까지 그들의 수학적 생각을 38가지로 다양하게 다뤘다. 그 가운데 일대일대응, 분수, 함수, 기하학, 피보나치수열, 페르미 추정, 프랙털, 리만 가설 등 초등 수학부터 고등 수학까지 개념과 이론을 두루 접할 수 있다.

수학은 생각을 확장시키는 도구이며, 동시에 세상에 대한 이해를 돕는 도구이다. 저자 이광연 교수는 '생각의 끈'을 강조한다. 수학에서는 하나를 알게 되면 나머지를 연결해 알아가는 과정이 중요하기 때문이다. 읽다 보면 복잡한 생각을 하나로 묶는 여러 이론적 끈을 발견할 수 있고, 생각을 짜임새 있는 틀로 자리 잡게 할 수 있는 방법도 발견할 수 있다. 이 책을 읽으면 읽을수록 수학자들이 실생활의 여러 문제를 어떻게 합리적이고 논리 정연하게 해결하는지 흥미롭게 보일 것이다.

"주변의 소음을 지우고 나만의 '최적의 해'를 도출하라!"
세상의 본질을 '인식적 좌표'에 그려 내는 '벡터적 사고'

인공지능은 각종 이미지를 받아들일 때 '픽셀'이라고 하는 수많은 사각형의 집합으로 세상을 바라본다. 복잡한 이미지 속에서 각 픽셀의 밝기와 색상을 숫자로 쪼개어 거대한 행렬과 벡터로 변환하는 것이다.
이처럼 보이지 않는 세상을 좌표에 그리는 '벡터적 사고'의 핵심은 현실의 복잡다단한 현상을 방향과 크기를 가진 독립된 축으로 분리하여, 세상의 본질을 명확한 좌표 위에 올려놓는 데 있다. 인공지능이 픽셀의 규칙을 찾아내 사물의 본질을 파악하듯, 인간 역시 벡터적 사고를 장착할 때 무질서해 보이는 현실 너머의 질서를 꿰뚫어 볼 수 있게 된다.

이 강력한 '수학적 처세술'은 복잡한 비즈니스 상황에서 전략을 수립하고 최적의 의사결정을 내릴 때 압도적인 힘을 발휘한다. 만약 당신이 음식점을 운영한다면 가게의 경쟁력을 분석할 때, 비즈니스를 구성하는 핵심 요소(맛, 가격, 인테리어)를 독립된 축으로 나누어 수치화해 보는 것이다. 각 요소에 점수를 부여하고, 그 점수들을 모아 우리 가게의 고유한 특징을 하나의 화살표(벡터)로 나타내 보면 앞으로의 전략을 좀 더 쉽게 세울 수 있다.
인생의 중대한 결정을 내릴 때도 마찬가지다. 감정적 요소를 제거하고, 나에게 중요한 가치들을 행렬의 칸에 배치해 수치화해 보자. 누군가에게는 그 변수가 '돈'일 수도 있지만, 누군가에게는 '시간'이나 '성취감'일 수도 있다. 중요한 것은 복잡한 현실을 나만의 상수와 변수로 정의 내리는 그 자체에 있다.
결국 벡터적 사고를 배운다는 것은 단순히 시험 문제를 풀기 위한 공식 암기가 아니라, 인생과 비즈니스의 복잡한 욕망과 현상을 나만의 기준으로 명료하게 재정의 하는 훈련이다. 이 시선을 갖추게 되면 막연한 불안감이나 타인의 시선에서 벗어날 수 있다. 나에게 가장 중요한 가치들을 행렬의 칸에 배치하고 수치화하는 순간, 우리의 뇌는 비로소 이성적으로 작동하며 데이터 사이의 숨겨진 관계를 분석하고 '최적의 해'를 도출해 낼 수 있다.


"인공지능처럼 3V로 세상을 읽고,
인간답게 가치를 질문하라!"
빅데이터의 폭포수 속에서 진리를 찾는 법

오늘날 쉴 새 없이 쏟아지는 빅데이터는 단순한 정보의 나열을 넘어 인공지능이라는 최첨단 엔진을 돌리는 가장 중요한 연료, 즉 '새로운 원유'로 기능하고 있다.
과거의 데이터가 도서관의 책처럼 정적이었다면, 오늘날 우리가 마주하는 대량의 정보는 상상할 수 없는 엄청난 규모(Volume)를 자랑하며, SNS 피드나 센서 정보처럼 실시간으로 생성되고 유통되는 압도적인 속도(Velocity)를 지닌다. 여기에 엑셀처럼 정리된 숫자뿐만 아니라 사진, 영상, 음성 등 정해진 형식이 없는 정보까지 아우르는 데이터의 다양성(Variety)까지 더해져 이른바 '3V'라는 거대한 폭포수를 이룬다.
서울시가 수십억 건의 통신 및 대중교통 데이터를 분석해 심야의 '올빼미 버스' 노선을 최적화하거나, 위기 징후 데이터를 통해 복지 사각지대의 고위험군 가구를 선제적으로 찾아내는 사례가 바로 이 3V의 흐름 속에서 사회적 자원을 효율적으로 이끌어 낸 결과물이다.

하지만 이처럼 엄청난 양의 데이터가 언제나 완벽한 정답만을 말하는 것은 아니며, 바로 이 지점에서 우리는 수학 너머의 인문학적 가치를 마주해야 한다. 철학자 베이컨이 말한 '동굴의 우상'처럼, 인공지능 역시 자신이 학습한 데이터라는 좁은 동굴 안에서만 세상을 바라보기 때문에 과거의 편향과 차별이 섞인 데이터를 그대로 학습하면 남성 위주로 지원자를 선별하거나 특정 인종에게 불리한 판정을 내리는 치명적인 오류를 범하게 된다.
데이터 속에 숨겨진 '차별의 DNA'를 바로잡기 위해 구글이 편향 없는 피부 톤 척도를 도입하고, 의료 알고리즘에서 경제적 변수를 제거하며, 수식의 가중치를 투명하게 설명해주는 '설명 가능한 AI(XAI)' 기술을 개발하는 등 다방면의 노력이 이어지는 이유가 여기에 있다.
생성형 AI가 화려한 픽셀의 렌즈와 문장으로 수많은 '가짜'를 쏟아내더라도, 수학적 사고력을 갖춘 인간은 데이터 밑에 흐르는 편향의 뼈대를 추적해 낼 수 있다.
인공지능의 데이터 처리 능력이 아무리 정교해져도 알고리즘이 지향해야 할 투명성과 도덕적 가치를 질문하는 '촉수'는 오직 인간만의 성역이며, 숫자로 이루어진 차가운 알고리즘에 따뜻한 인문학적 가치를 불어넣어 인간의 존엄성을 잊지 않는 것이야말로 이 시대를 살아가는 우리에게 필요한 가장 중요한 지혜일 것이다.

들어가며 수학적 사고, 인공지능 시대의 화음을 설계하는 지혜

1장 문제에 대한 생각, 보이지 않는 것을 발견하기
세상을 문제로 보는 시선 - 외판원 문제
때로는 추측이 문제를 해결한다 - 페르미 추정
옛것을 알아야 새것을 안다 - 온고이지신
80억 개의 생각을 1로 만드는 능력 - 축소
점, 선, 면을 넘어 n차원으로 - 확장
[피타고라스의 생각] 보이지 않는 세계를 잇는 다리

2장 논리에 대한 생각, 일상을 분석하기
일상을 문제별로 분류하는 법 - 기호와 분류
방탄소년단도 이용한 메타버스 - 비트맵과 웨이브
천재 수학자 허준이의 생각 - 연결과 구조
가우스처럼 논리적으로 생각하는 법 - 생각의 끈
[피타고라스의 생각] 깨우치는 사람에게 필요한 것

3장 창의에 대한 생각, 상상하고 질문하기
자동차 번호판을 보고 하는 상상 - 배수
별은 얼마나 밝게 빛날까 - 역제곱의 법칙
병뚜껑에 숨어 있는 각도 - 약수
바이오리듬은 진짜일까? - 최소공배수
60갑자의 비밀 - 진법
문제 속 숨은 공통점 찾기 - 배열
반복이 무한하면 무엇이 될까? - 프랙털
[피타고라스의 생각] 수로 세상을 알아가는 법

4장 발명에 대한 생각, 발상을 전환하기
짝을 이루는 생각의 발견 - 일대일대응
위대한 숫자 0, '없음'의 발명 - 수
곱하기를 나타내는 기발한 방법 - 곱셈
공평함을 위한 수학적 생각 - 분수
유클리드는 옳았고, 옳지 않았다 - 기하학
오차 범위를 줄이는 법 - 작도
아인슈타인의 사랑 방정식 - 위상수학
[피타고라스의 생각] 인생을 바꾸는 격언의 발견

5장 공부에 대한 생각, 기초에서 확장하기
기초가 튼튼해야 완성된다 - 수리력
개념만 알아도 반이다 - 계산 능력
수학은 어렵지 않다는 생각 - 추상화
수학을 잘하는 의외의 방법 - 이해력
하나를 알았다면 열이 보인다 - 규칙성
[피타고라스의 생각] 수학으로 철학을 했던 사람

6장 활용에 대한 생각, 수학자처럼 생각하기
죄수의 딜레마와 치킨 게임 - 응용 수학
이세돌이 알파고에게 진 이유 - 몬테카를로 탐색
인구수를 예측하는 손쉬운 방법 - 지수함수
평면을 완벽하게 채울 수 있을까? - 힐베르트 문제
풀리지 않는 수학계 미제 사건 - 리만 가설
[피타고라스의 생각] 통합하고 적용하는 삶

7장 미래에 대한 생각, 인공지능과 공존하기
인공지능은 어떻게 문장을 만들까? - 확률과 통계
기계가 세상을 데이터로 보는 법 - 벡터와 행렬
유튜브 알고리즘이 내 마음을 읽는 이유 - 패턴 인식
무엇이 진짜인지 어떻게 증명할 수 있을까? - 불변량과 증명
인공지능은 어떻게 혼자서 공부할까? - 함수와 미분
[피타고라스의 생각] 인공지능 시대의 수학적 사고력

나가며 수로 세상을 읽을 때 꼭 필요한 생각

이광연 성균관대학교 수학과를 졸업한 뒤 같은 학교 대학원에서 박사학위를 받았다. 미국 와이오밍 주립대학교에서 박사후과정을 마치고 아이오와 주립대학교에서 방문교수를 지냈다. 지금은 한서대학교 자유전공학부 교수로 있으며, 2007, 2009, 2015, 2022 개정 교육과정 중·고등학교 수학교과서 집필에 참여했다.
어릴 때부터 수학을 좋아했다. 어려운 문제와 씨름하다가 어느 순간 정답을 맞혔을 때 느끼는 쾌감과 감동 때문에 수학에 빠져 살았다. 수학자로 살면서 세상을 더 재미있게 볼 수 있는 눈이 생겼다. 수학을 가르치는 사람으로서 사람들에게 재미있는 수학을 알려야 한다는 소명을 가지고 동분서주 중이다. 그 일환으로 역사, 신화, 영화 등 다양한 분야에서 수학 원리를 도출해 내는 글과 강연을 통해 수학이 우리 삶과 밀접하게 맞닿아 있음을 설파하고 있다.
지은 책으로 《개념 있는 수학자 : 공통수학 편》, 《개념 있는 수학자 : 대수 · 미적분 · 확률과 통계 편》, 《웃기는 수학이지 뭐야》, 《밥상에 오른 수학》, 《신화 속 수학 이야기》, 《수학자들의 전쟁》, 《멋진 세상을 만든 수학》, 《이광연의 수학 블로그》, 《이광연의 오늘의 수학》, 《시네마 수학》, 《수학, 인문으로 수를 읽다》, 《수학, 세계사를 만나다》 등이 있다.